Atšķirību metodes 1. kārtas diferenciālvienādojumu risināšanai. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Risinājumu piemēri. Diferenciālvienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem. Vienādojumi atrisināti y
Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Risinājumu piemēri.
Diferenciālvienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem
Diferenciālvienādojumi (DE). Šie divi vārdi parasti biedē vidusmēra cilvēku. Šķiet, ka diferenciālvienādojumi daudziem studentiem ir kaut kas pārmērīgs un grūti apgūstams. Ūūūū... diferenciālvienādojumi, kā lai es to visu pārdzīvoju?!
Šis viedoklis un šāda attieksme ir principiāli nepareizs, jo patiesībā DIFERENCIĀLIE VIENĀDĀJUMI — TAS IR VIENKĀRŠI UN PAT PRIEKTRI. Kas jums jāzina un jāprot, lai iemācītos atrisināt diferenciālvienādojumus? Lai veiksmīgi pētītu difūzus, jums labi jāprot integrēt un diferencēt. Jo labāk tiek pētītas tēmas Viena mainīgā funkcijas atvasinājums Un Nenoteikts integrālis, jo vieglāk būs saprast diferenciālvienādojumus. Teikšu vairāk, ja ir vairāk vai mazāk pieklājīgas integrācijas prasmes, tad tēma jau gandrīz apgūta! Jo vairāk dažādu veidu integrāļu jūs varat atrisināt, jo labāk. Kāpēc? Jums būs daudz jāintegrē. Un atšķirt. Arī ļoti ieteiktu iemācies atrast.
95% gadījumu pārbaudes darbi satur 3 veidu pirmās kārtas diferenciālvienādojumus: atdalāmi vienādojumi ko aplūkosim šajā nodarbībā; viendabīgi vienādojumi Un lineāri nehomogēni vienādojumi. Tiem, kas sāk mācīties difuzorus, iesaku lasīt nodarbības tieši šādā secībā, un pēc pirmo divu rakstu izpētes nenāks par ļaunu nostiprināt savas prasmes papildu darbnīcā - vienādojumi, kas tiek reducēti līdz viendabīgiem.
Ir vēl retāki diferenciālvienādojumu veidi: kopējie diferenciālvienādojumi, Bernulli vienādojumi un daži citi. Vissvarīgākie no pēdējiem diviem veidiem ir vienādojumi kopējos diferenciāļos, jo papildus šim diferenciālvienādojumam es apsveru jaunu materiālu - daļēja integrācija.
Ja jums ir palikusi tikai diena vai divas, Tas īpaši ātrai pagatavošanai Tur ir zibens kurss pdf formātā.
Tātad, orientieri ir iestatīti - ejam:
Vispirms atcerēsimies parastos algebriskos vienādojumus. Tie satur mainīgos lielumus un skaitļus. Vienkāršākais piemērs:. Ko nozīmē atrisināt parastu vienādojumu? Tas nozīmē atrast skaitļu kopums, kas apmierina šo vienādojumu. Ir viegli pamanīt, ka bērnu vienādojumam ir viena sakne: . Izklaidei pārbaudīsim un ievietojiet atrasto sakni mūsu vienādojumā:
– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka risinājums atrasts pareizi.
Izkliedētāji ir veidoti līdzīgi!
Diferenciālvienādojums pirmais pasūtījums vispār satur:
1) neatkarīgs mainīgais;
2) atkarīgais mainīgais (funkcija);
3) funkcijas pirmais atvasinājums: .
Dažos pirmās kārtas vienādojumos var nebūt “x” un/vai “y”, taču tas nav būtiski - svarīgs lai dotos uz vadības telpu bija pirmais atvasinājums, un nebija augstākās kārtas atvasinājumi – u.c.
Ko nozīmē ? Diferenciālvienādojuma risināšana nozīmē atrašanu visu funkciju komplekts, kas apmierina šo vienādojumu. Šādai funkciju kopai bieži ir forma (– patvaļīga konstante), ko sauc diferenciālvienādojuma vispārējs risinājums.
1. piemērs
Atrisiniet diferenciālvienādojumu
Pilna munīcija. Kur sākt risinājums?
Pirmkārt, jums ir jāpārraksta atvasinājums nedaudz citā formā. Mēs atceramies apgrūtinošo apzīmējumu, kas, iespējams, daudziem no jums šķita smieklīgs un nevajadzīgs. Lūk, kas valda difuzoros!
Otrajā darbībā redzēsim, vai tas ir iespējams atsevišķi mainīgie? Ko nozīmē atdalīt mainīgos? Rupji runajot, kreisajā pusē mums jādodas prom tikai "grieķi", A labajā pusē organizēt tikai "X". Mainīgo lielumu sadalīšana tiek veikta, izmantojot “skolas” manipulācijas: izliekot tos no iekavām, pārnesot terminus no daļas uz daļu ar zīmes maiņu, pārnesot faktorus no daļas uz daļu saskaņā ar proporcijas likumu utt.
Atšķirības un ir pilni vairotāji un aktīvi karadarbības dalībnieki. Apskatāmajā piemērā mainīgos lielumus var viegli atdalīt, izmetot faktorus atbilstoši proporcijas likumam:
Mainīgie ir atdalīti. Kreisajā pusē ir tikai “Y”, labajā pusē – tikai “X”.
Nākamais posms - diferenciālvienādojuma integrācija. Tas ir vienkārši, mēs ievietojam integrāļus abās pusēs:
Protams, mums ir jāņem integrāļi. Šajā gadījumā tie ir tabulas veidā:
Kā mēs atceramies, jebkuram antiatvasinājumam tiek piešķirta konstante. Šeit ir divi integrāļi, taču pietiek vienreiz ierakstīt konstanti (jo konstante + konstante joprojām ir vienāda ar citu konstanti). Vairumā gadījumu tas ir novietots labajā pusē.
Stingri sakot, pēc integrāļu ņemšanas diferenciālvienādojums tiek uzskatīts par atrisinātu. Vienīgais ir tas, ka mūsu “y” netiek izteikts caur “x”, tas ir, tiek piedāvāts risinājums netiešā veidā formā. Diferenciālvienādojuma risinājumu implicītā formā sauc diferenciālvienādojuma vispārējais integrālis. Tas ir, tas ir vispārējs integrālis.
Atbilde šajā formā ir diezgan pieņemama, bet vai ir labāks risinājums? Mēģināsim dabūt kopīgs lēmums.
Lūdzu, atcerieties pirmo tehniku, tas ir ļoti izplatīts un bieži tiek izmantots praktiskos uzdevumos: ja pēc integrācijas labajā pusē parādās logaritms, tad daudzos gadījumos (bet ne vienmēr!) konstanti vēlams rakstīt arī zem logaritma. Un noteikti pierakstiet, ja rezultāts ir tikai logaritmi (kā aplūkotajā piemērā).
Tas ir, TĀ VIETĀ ieraksti parasti tiek rakstīti 
.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Un lai būtu vieglāk izteikt “spēli”. Izmantojot logaritmu īpašību 
. Šajā gadījumā:
Tagad logaritmus un moduļus var noņemt:
Funkcija ir skaidri parādīta. Šis ir vispārējais risinājums.
Atbilde: kopīgs lēmums: 
.
Atbildes uz daudziem diferenciālvienādojumiem ir diezgan viegli pārbaudīt. Mūsu gadījumā tas tiek darīts pavisam vienkārši, mēs ņemam atrasto risinājumu un atšķiram to:
Tad mēs aizstājam atvasinājumu sākotnējā vienādojumā:
– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka vispārējais risinājums apmierina vienādojumu, kas ir tas, kas bija jāpārbauda.
Sniedzot konstanti dažādas vērtības, jūs varat iegūt bezgalīgu skaitu privātie risinājumi diferenciālvienādojums. Ir skaidrs, ka jebkura no funkcijām , u.c. apmierina diferenciālvienādojumu.
Dažreiz tiek saukts vispārējs risinājums funkciju saime. Šajā piemērā vispārīgais risinājums 
ir lineāru funkciju saime vai, precīzāk, tiešas proporcionalitātes saime.
Pēc rūpīgas pirmā piemēra pārskatīšanas ir lietderīgi atbildēt uz vairākiem naiviem jautājumiem par diferenciālvienādojumiem:
1)Šajā piemērā mēs varējām atdalīt mainīgos. Vai to vienmēr var izdarīt? Nē ne vienmēr. Un vēl biežāk mainīgos lielumus nevar atdalīt. Piemēram, iekšā homogēni pirmās kārtas vienādojumi, vispirms tas ir jāaizstāj. Citu veidu vienādojumos, piemēram, pirmās kārtas lineārā nehomogēnā vienādojumā, lai atrastu vispārēju risinājumu, ir jāizmanto dažādas metodes un metodes. Vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem, kurus mēs aplūkojam pirmajā nodarbībā, ir vienkāršākais diferenciālvienādojumu veids.
2) Vai vienmēr ir iespējams integrēt diferenciālvienādojumu? Nē ne vienmēr. Ir ļoti viegli izdomāt “iedomātu” vienādojumu, ko nevar integrēt; turklāt ir integrāļi, kurus nevar ņemt. Bet šādus DE var aptuveni atrisināt, izmantojot īpašas metodes. D’Alemberts un Košī garantē... ...ugh, lurkmore.Lai tikko daudz lasītu, es gandrīz piebildu “no citas pasaules”.
3) Šajā piemērā mēs ieguvām risinājumu vispārējā integrāļa formā 
. Vai vienmēr ir iespējams atrast vispārīgu risinājumu no vispārējā integrāļa, tas ir, skaidri izteikt “y”? Nē ne vienmēr. Piemēram: . Nu kā te var izteikties "grieķu valodā"?! Šādos gadījumos atbilde jāraksta kā vispārējs integrālis. Turklāt dažreiz ir iespējams atrast vispārīgu risinājumu, bet tas ir uzrakstīts tik apgrūtinoši un neveikli, ka labāk ir atstāt atbildi vispārējā integrāļa formā
4) ...varbūt pagaidām ar to pietiks. Pirmajā piemērā mēs saskārāmies vēl viens svarīgs punkts, bet, lai “manekenus” neapklātu ar jaunas informācijas lavīnu, atstāšu līdz nākamajai nodarbībai.
Nesteigsimies. Vēl viena vienkārša tālvadības pults un vēl viens tipisks risinājums:
2. piemērs
Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas apmierina sākotnējo nosacījumu
Risinājums: saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod privāts risinājums DE, kas atbilst noteiktajam sākuma nosacījumam. Šo jautājuma formulējumu arī sauc Cauchy problēma.
Vispirms mēs atrodam vispārīgu risinājumu. Vienādojumā nav mainīgā “x”, taču tas nedrīkst sajaukt, galvenais, lai tam būtu pirmais atvasinājums.
Mēs pārrakstām atvasinājumu vajadzīgajā formā:
Acīmredzot mainīgos var atdalīt, zēnus pa kreisi, meitenes pa labi:
Integrēsim vienādojumu: 
Tiek iegūts vispārējais integrālis. Šeit es uzzīmēju konstanti ar zvaigznīti, fakts ir tāds, ka ļoti drīz tā pārvērtīsies par citu konstanti.
Tagad mēs cenšamies pārveidot vispārējo integrāli vispārīgā risinājumā (skaidri izteikt “y”). Atcerēsimies vecās labās lietas no skolas laikiem: 
. Šajā gadījumā:
Indikatora konstante izskatās kaut kā nekošēra, tāpēc to parasti nolaiž uz zemes. Sīkāk, tas notiek šādi. Izmantojot grādu īpašību, funkciju pārrakstām šādi:
Ja ir konstante, tad ir arī kāda konstante, pārzīmēsim to ar burtu :
– šajā gadījumā mēs noņemam moduli, pēc kura konstante “ce” var iegūt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības
Atcerieties, ka konstante ir “nojaukšana”. otrā tehnika, ko bieži izmanto, risinot diferenciālvienādojumus. Tīrā versijā jūs varat nekavējoties pāriet no uz, bet vienmēr esiet gatavs izskaidrot šo pāreju.
Tātad vispārējais risinājums ir: . Šī ir jauka eksponenciālu funkciju saime.
Pēdējā posmā jums ir jāatrod konkrēts risinājums, kas atbilst norādītajam sākuma nosacījumam. Tas arī ir vienkārši.
Kāds ir uzdevums? Vajag paņemt tādi konstantes vērtību, lai nosacījums būtu izpildīts.
To var formatēt dažādi, taču tas, iespējams, būs skaidrākais veids. Vispārējā risinājumā “X” vietā mēs aizstājam ar nulli, bet “Y” vietā ar diviem:
Tas ir,
Standarta dizaina versija:
Tagad atrasto konstantes vērtību aizstājam ar vispārējo risinājumu:
– tas ir konkrētais risinājums, kas mums vajadzīgs.
Atbilde: privāts risinājums:
Pārbaudīsim. Privāta risinājuma pārbaude ietver divus posmus:
Vispirms ir jāpārbauda, vai konkrētais atrastais risinājums patiešām apmierina sākotnējo nosacījumu? “X” vietā mēs aizstājam nulli un skatāmies, kas notiek:
- jā, tiešām, tika saņemts divnieks, kas nozīmē, ka sākotnējais nosacījums ir izpildīts.
Otrais posms jau ir pazīstams. Mēs ņemam iegūto konkrēto risinājumu un atrodam atvasinājumu:
Mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu:
– tiek iegūta pareizā vienlīdzība.
Secinājums: konkrētais risinājums tika atrasts pareizi.
Pāriesim pie jēgpilnākiem piemēriem.
3. piemērs
Atrisiniet diferenciālvienādojumu
Risinājums: Mēs pārrakstām atvasinājumu mums vajadzīgajā formā: 
Mēs izvērtējam, vai ir iespējams nodalīt mainīgos? Var. Pārvietojam otro terminu uz labo pusi ar zīmes maiņu: 
Un mēs pārskaitām reizinātājus saskaņā ar proporcijas likumu: 
Mainīgie ir atdalīti, integrēsim abas daļas: 
Man jūs jābrīdina, tuvojas sprieduma diena. Ja neesi labi mācījies nenoteiktie integrāļi, ir atrisinājis dažus piemērus, tad nav kur iet - tagad tie būs jāapgūst.
Kreisās puses integrālis ir viegli atrodams; mēs apstrādājam kotangensa integrāli, izmantojot standarta paņēmienu, ko apskatījām nodarbībā Trigonometrisko funkciju integrēšana pagājušais gads: 
Rezultātā mēs saņēmām tikai logaritmus, un saskaņā ar manu pirmo tehnisko ieteikumu mēs arī definējam konstanti kā logaritmu.
Tagad mēs cenšamies vienkāršot vispārējo integrāli. Tā kā mums ir tikai logaritmi, no tiem ir pilnīgi iespējams (un nepieciešams) atbrīvoties. Izmantojot zināmās īpašības Mēs “iepakojam” logaritmus, cik vien iespējams. Es to uzrakstīšu ļoti detalizēti: 
Iepakojums ir pabeigts tā, lai tas būtu barbariski nobružāts: 
, un tūlīt mēs prezentējam vispārējais integrālis Starp citu, ja vien tas ir iespējams: 
Vispārīgi runājot, tas nav jādara, taču vienmēr ir izdevīgi iepriecināt profesoru ;-)
Principā šo šedevru var uzrakstīt kā atbildi, taču šeit joprojām ir lietderīgi abas daļas kvadrātā un pārdēvēt konstanti:
Atbilde: vispārējais integrālis:
! Piezīme: Vispārējo integrāli bieži var uzrakstīt vairāk nekā vienā veidā. Tādējādi, ja jūsu rezultāts nesakrīt ar iepriekš zināmo atbildi, tas nenozīmē, ka esat atrisinājis vienādojumu nepareizi.
Vai ir iespējams izteikt "spēli"? Var. Izteiksim vispārīgo risinājumu:
Protams, iegūtais rezultāts ir piemērots atbildei, taču ņemiet vērā, ka vispārējais integrālis izskatās kompaktāks un risinājums ir īsāks.
Trešais tehniskais padoms:ja vispārīga risinājuma iegūšanai nepieciešams veikt ievērojamu skaitu darbību, tad vairumā gadījumu labāk no šīm darbībām atturēties un atstāt atbildi vispārējā integrāļa formā. Tas pats attiecas uz “sliktām” darbībām, kad jāizsaka apgrieztā funkcija, jāpaaugstina līdz pakāpei, jāizņem sakne utt. Fakts ir tāds, ka vispārējais risinājums izskatīsies pretenciozs un apgrūtinošs - ar lielām saknēm, zīmēm un citiem matemātiskiem atkritumiem.
Kā pārbaudīt? Pārbaudi var veikt divos veidos. Pirmā metode: izmantojiet vispārīgo risinājumu 
, mēs atrodam atvasinājumu 
un aizstājiet tos sākotnējā vienādojumā. Izmēģiniet to pats!
Otrs veids ir diferencēt vispārējo integrāli. Tas ir diezgan vienkārši, galvenais, lai var atrast netieši norādītas funkcijas atvasinājums:
sadaliet katru terminu ar:
un tālāk: 
Sākotnējais diferenciālvienādojums ir iegūts precīzi, kas nozīmē, ka vispārējais integrālis ir atrasts pareizi.
4. piemērs
Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas apmierina sākotnējo nosacījumu. Veikt pārbaudi.
Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi.
Atgādināšu, ka algoritms sastāv no diviem posmiem:
1) vispārēja risinājuma atrašana;
2) vajadzīgā konkrētā risinājuma atrašana.
Pārbaude tiek veikta arī divos posmos (skatiet piemēru 2. piemērā), jums ir nepieciešams:
1) pārliecināties, ka konkrētais atrastais risinājums atbilst sākotnējam nosacījumam;
2) pārbaudiet, vai konkrētais risinājums kopumā atbilst diferenciālvienādojumam.
Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
5. piemērs
Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu 
, apmierinot sākotnējo nosacījumu. Veikt pārbaudi.
Risinājums: Pirmkārt, atradīsim vispārīgu risinājumu, šis vienādojums jau satur gatavus diferenciāļus, un tāpēc risinājums ir vienkāršots. Mēs atdalām mainīgos: 
Integrēsim vienādojumu: 
Kreisajā pusē esošais integrālis ir tabulas veidā, labās puses integrālis tiek ņemts metode funkcijas iekļaušanai zem diferenciālzīmes:
Ir iegūts vispārējais integrālis, vai ir iespējams veiksmīgi izteikt vispārējo risinājumu? Var. Mēs piekarinām logaritmus abās pusēs. Tā kā tās ir pozitīvas, moduļa zīmes nav vajadzīgas: 
(ceru, ka visi saprot pārvērtības, tādas lietas jau būtu jāzina)
Tātad vispārējais risinājums ir:
Atradīsim konkrētu risinājumu, kas atbilst dotajam sākuma nosacījumam.
Vispārējā risinājumā “X” vietā mēs aizstājam nulli, bet “Y” vietā mēs aizstājam divu logaritmu: 
Pazīstamāks dizains:
Atrasto konstantes vērtību aizstājam ar vispārējo risinājumu.
Atbilde: privāts risinājums:
Pārbaudiet: vispirms pārbaudīsim, vai ir izpildīts sākotnējais nosacījums:
- viss ir labi.
Tagad pārbaudīsim, vai atrastais konkrētais risinājums vispār apmierina diferenciālvienādojumu. Atvasinājuma atrašana:
Apskatīsim sākotnējo vienādojumu: 
– to uzrāda diferenciāļos. Ir divi veidi, kā pārbaudīt. Ir iespējams izteikt diferenciāli no atrastā atvasinājuma:
Aizstāsim atrasto konkrēto risinājumu un iegūto diferenciāli sākotnējā vienādojumā 
: 
Mēs izmantojam pamata logaritmisko identitāti: 
Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka konkrētais risinājums tika atrasts pareizi.
Otrā pārbaudes metode ir atspoguļota un pazīstamāka: no vienādojuma 
Izteiksim atvasinājumu, lai to izdarītu, mēs sadalām visus gabalus ar: 
Un transformētajā DE aizvietojam iegūto parciālo risinājumu un atrasto atvasinājumu. Vienkāršošanas rezultātā būtu jāiegūst arī pareiza vienlīdzība.
6. piemērs
Atrodiet vienādojuma vispārējo integrāli, iesniedziet atbildi formā.
Šis ir piemērs, kas jāatrisina pašam, pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Kādas grūtības sagaida, risinot diferenciālvienādojumus ar atdalāmiem mainīgajiem?
1) Ne vienmēr ir skaidrs (īpaši “tējkannai”), ka mainīgos var atdalīt. Apskatīsim nosacītu piemēru: . Šeit jums ir jāizņem faktori no iekavām: un jāatdala saknes: . Ir skaidrs, ko darīt tālāk.
2) Grūtības ar pašu integrāciju. Integrāļi bieži vien nav no vienkāršākajiem, un, ja ir trūkumi atrast prasmēs nenoteikts integrālis, tad ar daudziem difuzoriem būs grūti. Turklāt loģika “tā kā diferenciālvienādojums ir vienkāršs, tad lai vismaz integrāļi ir sarežģītāki” ir populāra kolekciju un mācību rokasgrāmatu sastādītāju vidū.
3) Pārvērtības ar konstanti. Kā visi ir pamanījuši, ar konstanti diferenciālvienādojumos var rīkoties diezgan brīvi, un dažas pārvērtības iesācējam ne vienmēr ir skaidras. Apskatīsim vēl vienu nosacītu piemēru: 
. Ieteicams visus vārdus reizināt ar 2: 
. Iegūtā konstante ir arī sava veida konstante, ko var apzīmēt ar: 
. Jā, un tā kā mums ir tikai logarīmi, ieteicams konstanti pārrakstīt citas konstantes formā: 
.
Problēma ir tā, ka viņi bieži neuztraucas ar indeksiem un izmanto vienu un to pašu burtu. Rezultātā lēmuma ierakstam ir šāda forma: 
Kas pie velna?! Tur ir kļūdas! Stingri sakot, jā. Taču no saturiskā viedokļa kļūdu nav, jo mainīgās konstantes transformācijas rezultātā tiek iegūta ekvivalenta mainīgā konstante.
Vai arī cits piemērs, pieņemsim, ka vienādojuma risināšanas gaitā tiek iegūts vispārējs integrālis. Šī atbilde izskatās neglīta, tāpēc ir ieteicams mainīt katra termina zīmi: 
. Formāli šeit ir vēl viena kļūda - tas jāraksta pa labi. Taču neformāli tiek saprasts, ka “mīnus ce” tomēr ir konstante, kas tikpat labi pārņem to pašu vērtību kopumu, un tāpēc “mīnusu” likt nav jēgas.
Es centīšos izvairīties no paviršas pieejas un, pārvēršot konstantēm, joprojām piešķiršu dažādus indeksus. Tas ir tas, ko es jums iesaku darīt.
7. piemērs
Atrisiniet diferenciālvienādojumu. Veikt pārbaudi.
Risinājums:Šis vienādojums ļauj atdalīt mainīgos. Mēs atdalām mainīgos: 
Integrēsim: 
Šeit konstante nav jādefinē kā logaritms, jo no tā nekas lietderīgs neiznāks.
Atbilde: vispārējais integrālis:
Un, protams, šeit nav skaidri jāizsaka “y”, jo tas izrādīsies miskaste (atcerieties trešo tehnisko padomu).
Pārbaude: Atšķiriet atbildi (netiešā funkcija): 
Mēs atbrīvojamies no daļskaitļiem, reizinot abus vārdus ar: 
Ir iegūts sākotnējais diferenciālvienādojums, kas nozīmē, ka vispārējais integrālis ir atrasts pareizi.
8. piemērs
Atrodiet konkrētu DE risinājumu.
,
Diferenciālvienādojums ir attiecības, kas izskatās kā F(x1,x2,x3,..,y,y′,y′′,...y (n)) = 0, un kas attiecas uz neatkarīgiem mainīgajiem x 1, x 2, x 3,...šo neatkarīgo mainīgo un to atvasinājumu funkcija y līdz n-tais pasūtījums. Turklāt funkcija F ir definēts un diferencēts pietiekami daudz reižu noteiktā argumentu izmaiņu diapazonā.
Parastie diferenciālvienādojumi ir diferenciālvienādojumi, kas satur tikai vienu neatkarīgu mainīgo.
Daļēji diferenciālvienādojumi- tie ir diferenciālvienādojumi, kas satur 2 vai vairākus neatkarīgus mainīgos.
Pirmās kārtas diferenciālvienādojums vispārīgā gadījumā satur:
1) neatkarīgs mainīgais X;
2) atkarīgais mainīgais y(funkcija);
3) pirmais funkcijas atvasinājums: y’ .
Dažos pirmās kārtas vienādojumos var nebūt X vai/un y, bet tas nav būtiski – svarīgi, lai diferenciālvienādojumiem būtu 1.atvasinājums y’ , un nebija augstākas kārtas atvasinājumu - y’’ , y’’’ un tā tālāk.
Diferenciālvienādojums- vienādojums, kas savieno funkcijas atvasinājuma vērtību ar pašu funkciju, neatkarīgā mainīgā vērtībām un skaitļiem (parametriem). Vienādojumā iekļauto atvasinājumu secība var būt dažāda (formāli tas nav ierobežots). Atvasinājumi, funkcijas, neatkarīgi mainīgie un parametri vienādojumā var tikt iekļauti dažādās kombinācijās, vai arī visi, izņemot vismaz 1. atvasinājumu, var pilnībā nebūt. Ne katrs vienādojums, kas satur nezināmas funkcijas atvasinājumus, izrādās diferenciālvienādojums. Piemēram, nav diferenciālvienādojums.
Diferenciālvienādojumu, kas ir augstāks par 1., var pārveidot par 1. kārtas vienādojumu sistēmu, kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar sākotnējā vienādojuma secību.
Diferenciālvienādojumu klasifikācija.
Diferenciālvienādojuma secība ir augstākā tajā iekļautā atvasinājuma secība.
Diferenciālvienādojuma pakāpe ir eksponents, līdz kuram tiek paaugstināts augstākās kārtas atvasinājums.
Piemēram, 1. kārtas 2. pakāpes vienādojums:
Piemēram, 1. pakāpes 4. kārtas vienādojums:
Dažreiz diferenciālvienādojumi tiek rakstīti šādi (tas ietver diferenciāļus):
(x 2
- 3
xy 2
)
dx + (xy 2
- 3
x 2
y)
dy = 0;
Šajā gadījumā mainīgie x Un y jāuzskata par līdzvērtīgu. Ja nepieciešams, šādu vienādojumu var reducēt līdz formai, kas skaidri satur atvasinājumu y". Sadalīt ar dx:
Tā kā un , tas nozīmē, ka vienādojumam ir tāda forma, kas satur pirmās kārtas atvasinājumu.
Definīcija. Formas vienādojums
, sauc nezināmo funkciju un tās atvasinājumus diferenciālvienādojums n-tais pasūtījums.
Definīcija. Formas vienādojums
neatkarīgā mainīgā saistīšana , sauc nezināmu funkciju un tās atvasinājumu pirmās kārtas diferenciālvienādojums.
Diferenciālvienādojuma secība ir augstākā šajā vienādojumā iekļautā atvasinājuma secība.
Definīcija. Vispārējs risinājums diferenciālvienādojumu (2) domēnā sauc par funkciju , Kur Ar– patvaļīga konstante, kas atbilst šādiem nosacījumiem:
1) katram numuram Ar funkcija ir (2) vienādojuma risinājums;
2) ja , tad ir tāds skaitlis, ka risinājums atbilst sākuma nosacījumam .
Ja vispārīgo risinājumu iegūst implicītā formā , tad sauc par vispārējo integrāli, un – (8) vienādojuma daļējs integrālis.
Ja diferenciālvienādojumu (8) var atrisināt attiecībā uz , tad tam būs šāda forma:
Diferenciālvienādojumu (9) sauc atrisināts attiecībā uz atvasinājumu.
Vienādojumu (9) dažreiz raksta šādi:
Kur – divu mainīgo funkcijas.
Košī teorēma. (Diferenciālvienādojuma (9) risinājuma eksistences un unikalitātes teorēma). Ja vienādojumā (9) funkcija un tās daļējais atvasinājums attiecībā pret ir definēti un nepārtraukti plaknes ( XOY) un ir patvaļīgs punkts no , tad šim vienādojumam ir unikāls risinājums, kas apmierina sākotnējo nosacījumu .
Tiek saukta problēma, kā atrast (9) vienādojuma risinājumu ar noteiktu sākuma nosacījumu Cauchy problēma.
Definīcija. Privāts lēmums diferenciālvienādojums (9) izsauc jebkuru funkciju , ko iegūst no vispārējā risinājuma, ja patvaļīgai konstantei tiek dota noteikta vērtība.
Definīcija. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sauc par vienādojumu ar atdalāmi mainīgie, ja to var rakstīt formā
vai , (12)
Kur – noteiktās funkcijas.
Lai atrisinātu vienādojumu (11), mēs sadalām mainīgos:
Vai arī sadaliet abas puses (12) ar :
kur
Definīcija. Vienādojumu vai (13) sauc par vienādojumu ar atdalīti mainīgie.
Definīcija. Funkcija tiek izsaukta viendabīgs nulles dimensijas funkcija, ja tā ir atkarīga tikai no attiecības, t.i. .
Definīcija. Viendabīgs diferenciālvienādojums ir formas (14) vienādojums
Ieviesīsim jaunu nezināmu funkciju, ievietojot , vai . Atšķirot, mēs iegūstam .
Aizvietosim vienādojumu (14), pārveidosim to formā . Atdalot mainīgos un integrējot, mēs atrodam
No šejienes.
Pēc integrācijas veikšanas jums jāatgriežas pie funkcijas, ievietojot .
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu.
Izsakot atvasinājumu, iegūstam vai .
Liekam. Tad,. Aizstājot vienādojumā, mēs iegūstam . Kur.
Atdalīsim mainīgos.
Pēc integrācijas mēs atrodam
vai .
Beidzot.
Definīcija. Lineārs diferenciālvienādojums ir formas vienādojums
Ieviesīsim divas jaunas nezināmas funkcijas un , liekot . Tā kā tagad ir divas nezināmas funkcijas un šīm funkcijām ir tikai viens nosacījums (to reizinājumam ir jāatbilst vienādojumam (15)), mēs varam šīm funkcijām patvaļīgi izvirzīt citu nosacījumu, ko izmantosim tālāk.
Aizstāsim ar (15),
mēs saņemam
vai (16)
Kā funkciju mēs izvēlamies jebkuru funkciju, kas atbilst nosacījumam. (17)
Mēs iegūstam vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem, lai atrastu . Integrēsim šo vienādojumu, integrācijas konstanti iestatot vienādu ar nulli (pēdējais ir likumīgs, jo mūs apmierina jebkurš (17) vienādojuma risinājums):
Aizstāsim atrasto vērtību vienādojumā (16):
Integrējot, mēs atrodam funkciju: . Reizinot atrastās funkcijas un , iegūstam (15) vienādojuma vispārīgu risinājumu.
Definīcija. Bernulli vienādojums ir formas vienādojums
Kur m- jebkurš reāls skaitlis. Šis vienādojums tiek atrisināts, izmantojot to pašu paņēmienu kā lineārais vienādojums.
Definīcija. Vienādojums
To sauc par kopējo diferenciālvienādojumu, ja tā kreisā puse ir kādas funkcijas kopējā diferenciāle. Šajā gadījumā vienādojumu (18) var pārrakstīt kā . Vienādojuma (18) vispārējais integrālis būs
Teorēma.Ļaujiet funkcijām nepārtraukti daļēji atvasinājumi kādā domēnā ( D) lidmašīna ( XOY). Lai izteiksme būtu pilnīgs kādas funkcijas diferenciālis, ir nepieciešams un pietiekami, ka visos reģiona punktos ( D) vienlīdzība ir spēkā
Dots vienādojums (18), kuram nosacījums (20) ir izpildīts. Pēdējais nozīmē, ka ir tāda funkcija, ka
Lai atrisinātu (18) vienādojumu, ir nepieciešams, pamatojoties uz vienādībām (21), atrast funkciju un ierakstīt vienādojuma (18) vispārējo integrāli formā (19).
Piemērs. Atrodiet vienādojuma risinājumu, kas atbilst nosacījumam.
Mums ir: , .
Atradīsim un:
Tādējādi, t.i. ir tāda funkcija
Lai atrastu, mēs integrējam vairāk x pirmā no vienādībām (22):
Šeit nezināmā funkcija spēlē integrācijas konstantes lomu. Lai atrastu, mēs atšķiram (23) attiecībā uz y:
No otras puses, no (22) mums ir No šīm divām vienādībām mēs iegūstam vai .
No šejienes. (24)
Aizvietojot ar (24), mēs saskaņā ar (19) iegūstam šī vienādojuma vispārējo integrāli formā .
komentēt. Tā kā saskaņā ar (19) funkcija tiek pielīdzināta patvaļīgai konstantei, tad, veicot integrāciju (24), integrācijas konstante nav jāraksta.
Tad ir pienācis laiks pāriet uz sarežģītāku tēmu, proti, diferenciālvienādojumu atrisināšanu (DE, parastajā valodā, difurē). Bet ne viss ir tik biedējoši, kā šķiet no pirmā acu uzmetiena.
Diferenciālvienādojums: kas tas ir?
Diferenciālvienādojums (DE) ir vienādojums, kas kopā ar pašu funkciju (un tās argumentiem) satur arī tā atvasinājumu vai vairākus atvasinājumus.
Diferenciālvienādojums: kas vēl jums jāzina?
Pirmā (un vissvarīgākā) lieta, kas jums būs nepieciešama, ir spēja pareizi noteikt diferenciālvienādojuma veidu. Otrkārt, bet ne mazāk svarīga ir spēja labi integrēties un atšķirties.
Nav noslēpums, ka diferenciālvienādojumi ir dažāda veida. Bet... vispirms ņemsim vērā, ka tālvadības pultis tiek piegādātas dažādās secībās. Diferenciālvienādojuma secība ir diferenciālvienādojumā iekļautā augstākā atvasinājuma secība. Vadības sistēmu klasifikāciju pēc vienādojuma secības var redzēt šajā tabulā:
| Vienādojuma secība | Vienādojuma veids | Piemērs |
|---|---|---|
| es |  |
|
| II |  |
|
| … | … | … |
| n |  |
Visbiežāk nākas saskarties ar pirmās un otrās kārtas, retāk trešās, vadības sistēmām. 99% gadījumu uzdevumi satur trīs veidu pirmās kārtas diferenciālvienādojumus: vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem, homogēnie vienādojumi un lineāri nehomogēni vienādojumi. Dažreiz ir arī retāki diferenciālvienādojuma veidi: vienādojumi kopējos diferenciāļos, Bernulli vienādojumi utt. Starp otrās kārtas diferenciālvienādojumiem bieži vien ir vienādojumi, kas noved pie pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem, lineāriem viendabīgiem un nehomogēniem vienādojumiem ar nemainīgiem koeficientiem.
Diferenciālvienādojums: risinājums - ko tas nozīmē un kā to atrast?
Risinot DE, mums tiek lūgts atrast vispārīgu risinājumu (vispārējo integrāli) vai konkrētu risinājumu. Kopīgs lēmums y = f(x, C) atkarīgs no kādas konstantes ( AR— const), un konkrētais risinājums nav atkarīgs no: y = f(x, C 0).
Atrodiet funkciju f, pamatojoties uz noteiktu atkarību, kas ietver pašu funkciju ar argumentiem un tās atvasinājumiem. Šāda veida problēmas ir aktuālas fizikā, ķīmijā, ekonomikā, tehnoloģijās un citās zinātnes jomās. Šādas atkarības sauc par diferenciālvienādojumiem. Piemēram, y" - 2xy = 2 ir 1. kārtas diferenciālvienādojums. Apskatīsim, kā tiek atrisināti šāda veida vienādojumi.
Kas tas ir?
Vienādojums, kas izskatās šādi:
- f(y, y", ..., y(10), y(11), ..., y(k), x) = 0,
tiek saukts par parastu difuru un tiek raksturots kā k kārtas vienādojums, un tas ir atkarīgs no x un atvasinājumiem y", y"", ... - līdz kth.
Šķirnes
Gadījumā, ja diferenciālvienādojumā atrodamā funkcija ir atkarīga tikai no viena argumenta, diferenciālvienādojuma veidu sauc par parasto. Citiem vārdiem sakot, vienādojumā funkcija f un visi tās atvasinājumi ir atkarīgi tikai no argumenta x.
Ja vēlamā funkcija ir atkarīga no vairākiem dažādiem argumentiem, vienādojumus sauc par daļējiem diferenciālvienādojumiem. Kopumā tie izskatās šādi:
- f(x, fx", ..., y, fy"..., z, ..., fz"", ...),
kur izteiksme fx" ir funkcijas atvasinājums attiecībā pret argumentu x, un fz"" ir funkcijas dubultatvasinājums attiecībā pret argumentu z utt.
Risinājums
Ir viegli uzminēt, kas tieši tiek uzskatīts par diferenciāļa risinājumu. vienādojumi Šo funkciju, kuras aizstāšana vienādojumā dod identisku rezultātu abās vienādības zīmes pusēs, sauc par risinājumu. Piemēram, vienādojumam t""+a2t = 0 ir risinājums šādā formā: t = 3Cos(ax) - Sin(ax):
Vienkāršojot 3. vienādojumu, mēs uzzinām, ka t""+a2t = 0 visām argumenta x vērtībām. Tomēr ir vērts veikt rezervāciju uzreiz. Vienādojums t = 3Cos(ax) - Sin(ax) nav vienīgais risinājums, bet tikai viens no bezgalīgas kopas, ko apraksta ar formulu mCos(ax) + nSin(ax), kur m un n ir patvaļīgi skaitļi. .
Šīs attiecības iemesls ir antiatvasinātās funkcijas definīcija integrālrēķinos: ja Q ir antiatvasinājums (precīzāk, viens no daudziem) funkcijai q, tad ∫q(x) dx = Q(x) + C, kur C ir patvaļīga konstante, kas ir iestatīta uz nulli apgrieztās darbības gadījumā, ņemot funkcijas Q"(x) atvasinājumu.
Izlaidīsim definīciju, kas ir k-tās kārtas vienādojuma risinājums. Nav grūti iedomāties, ka jo augstāka ir atvasinājuma secība, jo vairāk konstantu parādās integrācijas procesā. Ir arī jāprecizē, ka iepriekš aprakstītā risinājuma definīcija nav pilnīga. Bet 17. gadsimta matemātiķiem ar to pietika.
Tālāk mēs apskatīsim tikai galvenos pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidus. Visvienkāršākā un vienkāršākā. Papildus tiem ir arī citas atšķirības. vienādojumi: viendabīgi, kopējos diferenciāļos un Bernulli. Bet to visu risināšana bieži ietver atdalāmo mainīgo metodi, kas tiks apspriesta tālāk.
Mainīgo atdalīšana kā risinājums
F = 0 — apzīmē diferenciāli. kārtas vienādojums 1. Risinot šāda veida diferenciālvienādojumus, tie ir viegli reducējami līdz formai y" = f. Tātad, piemēram, vienādojums ey" - 1 - xy = 0 tiek reducēts līdz formai y" = ln( 1 + xy). Darbību diferenciālvienādojuma samazināšanai līdz līdzīgai formai sauc par tā izšķirtspēju attiecībā pret atvasinājumu y".
Pēc vienādojuma atrisināšanas tas jāieved diferenciālā formā. To veic, reizinot visas vienādojuma puses ar dx. No y" = f mēs iegūstam y"dx = fdx. Ņemot vērā to, ka y"dx = dy, mēs iegūstam vienādojumu šādā formā:
- dy = f dx - ko sauc par diferenciālo formu.
Acīmredzot y" = f(x) ir visvienkāršākais pirmās kārtas diferenciālvienādojums. Tā atrisinājumu panāk ar vienkāršu integrāciju. Sarežģītāka forma ir q(y)*y" = p(x), kurā q(y) ir funkcija, kas ir atkarīga no y, un p(x) ir funkcija, kas ir atkarīga no x. Nododot to diferenciālā formā, mēs iegūstam:
- q(y)dy = p(x)dx
Ir viegli saprast, kāpēc vienādojumu sauc par sadalītu: kreisajā pusē ir tikai mainīgais y, bet labajā pusē ir tikai x. Šāds vienādojums tiek atrisināts, izmantojot šādu teorēmu: ja funkcijai p ir antiatvasinājums P, bet q ir antiatvasinājums Q, tad diferencētais integrālis būs Q(y) = P(x) + C.
Atrisināsim vienādojumu z"(x)ctg(z) = 1/x. Reducējot šo vienādojumu līdz diferenciālajai formai: ctg(z)dz = dx/x; un ņemot abu pušu integrāli ∫ctg(z)dz = ∫dx/x ; iegūstam atrisinājumu vispārīgā formā: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Skaistuma labad šo vienādojumu saskaņā ar logaritmu likumiem var uzrakstīt citā formā, ja ievietojam C = ln W - iegūstam W|sin(z) | = |x| vai, vēl vienkāršāk, WSin(z) = x.
Formas vienādojumi dy/dx = q(y)p(x)
Mainīgo atdalīšanu var attiecināt uz vienādojumiem ar formu y" = q(y)p(x). Jāņem vērā tikai gadījums, kad q(y) pie kāda skaitļa a pazūd. Tas ir, q(a) ) = 0. Šajā gadījumā funkcija y = a būs risinājums, jo tai y" = 0, tāpēc arī q(a)p(x) ir vienāda ar nulli. Visām pārējām vērtībām, kur q(y) nav vienāds ar 0, mēs varam uzrakstīt diferenciālo formu:
- p(x) dx = dy/q(y),
kuru integrējot, iegūstam vispārīgu risinājumu.
Atrisināsim vienādojumu S" = t2(S-a)(S-b). Acīmredzot vienādojuma saknes ir skaitļi a un b. Tāpēc S=a un S=b ir šī vienādojuma risinājumi. Citām vērtībām S mums ir diferenciālforma: dS/[(S-a) (S-b)] = t2dt No kurienes ir viegli iegūt vispārējo integrāli.
Formas vienādojumi H(y)W(x)y" + M(y)J(x) = 0
Atrisinot šāda veida vienādojumu y" iegūstam: y" = - C(x)D(y) / A(x)B(y). Šī vienādojuma diferenciālā forma būs:
- W(x)H(y)dy + J(x)M(y)dx = 0
Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums jāapsver nulles gadījumi. Ja a ir W(x) sakne, tad x = a ir integrālis, jo no tā izriet, ka dx = 0. Tāpat arī gadījumā, ja b ir M(y) sakne. Pēc tam x vērtību diapazonam, kuram W un M nepazūd, varam atdalīt mainīgos, dalot ar izteiksmi W(x)M(y). Pēc tam izteiksmi var integrēt.
Tādi izrādās daudzi vienādojumu veidi, kuriem no pirmā acu uzmetiena nav iespējams piemērot mainīgo lielumu atdalīšanu. Piemēram, trigonometrijā tas tiek panākts, izmantojot identitātes transformācijas. Bieži vien var būt piemērota arī kāda ģeniāla aizstāšana, pēc kuras var izmantot atdalīto mainīgo metodi. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidi var izskatīties ļoti dažādi.
Lineārie vienādojumi
Tikpat svarīgs diferenciālvienādojumu veids, kuru atrisināšana notiek ar aizstāšanu un reducēšanu uz atdalīto mainīgo metodi.
- Q(x)y + P(x)y" = R(x) — attēlo vienādojumu, kas ir lineārs, ja to aplūko attiecībā uz funkciju un tās atvasinājumu. P, Q, R — apzīmē nepārtrauktas funkcijas.
Gadījumos, kad P(x) nav vienāds ar 0, vienādojumu var izveidot formā, kas atrisināta attiecībā pret y", visas daļas dalot ar P(x).
- y" + h(x)y = j(x), kurā h(x) un j(x) apzīmē attiecīgi funkciju Q/P un R/P attiecības.
Lineāro vienādojumu risinājums
Lineāro vienādojumu var saukt par viendabīgu gadījumā, ja j(x) = 0, tas ir, h(x)y+ y" = 0. Šādu vienādojumu sauc par homogēnu un var viegli atdalīt: y"/y = -h (x). Integrējot to, mēs iegūstam: ln|y| = -H(x) + ln(C). No kurienes y tiek izteikts kā y = Ce-H(x).
Piemēram, z" = zCos(x). Atdalot mainīgos un izveidojot vienādojumu diferenciālā formā un pēc tam integrējot, mēs iegūstam, ka vispārīgajam risinājumam būs izteiksme y = CeSin(x).
Lineāro vienādojumu tā vispārīgajā formā sauc par nehomogēnu, tas ir, j(x) nav vienāds ar 0. Tā risinājums sastāv no vairākiem posmiem. Vispirms jums jāatrisina viendabīgais vienādojums. Tas ir, pielīdziniet j(x) ar nulli. Lai u ir viens no atbilstošā viendabīgā lineārā vienādojuma risinājumiem. Tad pastāv identitāte u" + h(x)u = 0.
Izmainīsim formu y = uv y" + h(x)y = j(x) un iegūsim (uv)" + h(x)uv = j(x) vai u"v + uv" + h(x)uv = j(x). Reducējot vienādojumu līdz formai u(u" + h(x)u) + uv" = j(x), varam redzēt, ka pirmajā daļā u" + h(x)u = 0. No kurienes iegūstam v" (x) = j (x) / u (x). No šejienes mēs aprēķinām antiatvasinājumu ∫v = V+C. Veicot apgriezto aizvietošanu, mēs atrodam y = u(V+C), kur u ir homogēnā vienādojuma atrisinājums, bet V ir attiecības j / u antiatvasinājums.
Atradīsim risinājumu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidam piederošajam vienādojumam y"-2xy = 2. Lai to izdarītu, vispirms atrisiniet homogēno vienādojumu u" - 2xu = 0. Iegūstam u = e2x + C. Risinājuma vienkāršības labad mēs uzstādām C = 0, t.i. tāpēc, ka problēmas risināšanai ir nepieciešams tikai viens no risinājumiem, nevis visas iespējamās iespējas.
Tad veicam aizstāšanu y = vu un iegūstam v"(x)u + v(u"(x) - 2u(x)x) = 2. Tad: v"(x)e2x = 2, no kurienes v"(x) ) = 2e-2x. Tad antiatvasinājums V(x) = -∫e-2xd(-2x) = - e-2x + C. Rezultātā y" - 2xy = 2 vispārējais risinājums būs y = uv = (-1)( e2x + C) e -2x = - 1 - Ce-2x.
Kā noteikt diferenciālvienādojuma veidu? Lai to izdarītu, jums tas jāatrisina attiecībā uz atvasinājumu un jānoskaidro, vai varat izmantot mainīgo atdalīšanas metodi tieši vai ar aizstāšanu.