Az ábra egy differenciálható függvény grafikonját mutatja. A funkciók differenciálása. Egy függvény folytonossága, amelynek deriváltja van. Tétel

Derivált funkciókat egy ponton a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, feltéve, hogy az nullára hajlik.

A derivált megtalálásának alapszabályai

Ha - és - differenciálható függvények a pontban (vagyis olyan függvények, amelyeknek deriváltjai vannak a pontban), akkor:

4) .

Az alapfüggvények deriváltjainak táblázata

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Az összetett függvény megkülönböztetésének szabálya. Ha és , azaz , ahol és származékai vannak, akkor

Paraméteresen megadott függvény differenciálása. Adjuk meg paraméteresen egy változó változótól való függését a paraméter segítségével:

3. feladat. Keresse meg ezeknek a függvényeknek a származékait!

1)

Megoldás. A 2. szabályt alkalmazva a deriváltak és a derivált táblázat 1. és 2. képleteinek meghatározására, a következőt kapjuk:

Megoldás. A 4. szabályt alkalmazva a származékok keresésére, valamint a derivált táblázat 1. és 13. képletére, a következőt kapjuk:

.

Megoldás. Ha alkalmazzuk a 3. szabályt a deriváltak keresésére, valamint a derivált táblázat 5. és 11. képletét, a következőt kapjuk:

Megoldás. Feltételezve , ahol egy komplex függvény deriváltjának meghatározására szolgáló képlet szerint a következőt kapjuk:

Megoldás. A következőket kapjuk: Ekkor a paraméteresen meghatározott függvény deriváltjának keresésére szolgáló képlet szerint kapjuk:

4. Magasabb rendű származékok. L'Hopital szabálya.

A függvény másodrendű deriváltja származékának származékának nevezzük, azaz. . A második származékra a következő jelöléseket használjuk: vagy , vagy .

A függvény elsőrendű deriváltja harmadrendű származékának deriváltjának nevezzük. A harmadrendű deriválthoz a következő jelöléseket használjuk: vagy , vagy .

L'Hopital szabálya. Legyenek a és a függvények differenciálhatóak a pont szomszédságában, és a derivált nem tűnik el. Ha a és függvények egyidejűleg végtelenül kicsik vagy végtelenül nagyok -nél, és van határa az at aránynak, akkor a -nél lévő aránynak is van határa. Ráadásul

.

A szabály akkor is érvényes, ha .

Vegye figyelembe, hogy bizonyos esetekben a bizonytalanságok felfedése a L'Hopital szabályának ismételt alkalmazását teheti szükségessé.

Típusbizonytalanságok stb. elemi transzformációk segítségével könnyen redukálhatók a forma bizonytalanságaira ill.

4. feladat. Keresse meg a határt a L'Hopital-szabály segítségével.

Megoldás Itt a forma bizonytalansága van, mert nál nél . Alkalmazzuk L'Hopital szabályát:

.

A L'Hopital-szabály alkalmazása után ismét megkaptuk a forma bizonytalanságát, mert nál nél . A L'Hopital szabályát ismét alkalmazva a következőket kapjuk:

.

5. Funkciótanulmány

a) Növekvő és csökkenő funkciók

A függvényt hívják növekvő a szegmensen , ha bármely pontra és a szegmensből, ahol , az egyenlőtlenség teljesül. Ha egy függvény folytonos egy intervallumon és -re, akkor az intervallumon növekszik.

A függvényt hívják csökkenő a szegmensen , ha bármely pontra és a szegmensből, ahol , az egyenlőtlenség teljesül. Ha egy függvény folytonos egy intervallumon és -re, akkor az intervallumon csökken.

Ha egy függvény egy adott intervallumon csak növekszik vagy csak csökken, akkor hívják monoton az intervallumon.

b) A függvények szélsőértéke

minimum pont funkciókat .

Ha van a pont szomszédsága úgy, hogy ebből a szomszédságból minden pontra teljesüljön az egyenlőtlenség, akkor a pontot nevezzük maximális pont funkciókat .

Egy függvény maximális és minimum pontját nevezzük függvényének szélsőséges pontok.

A lényeg az ún álló pont, ha létezik vagy nem.

Ha van egy stacionárius pontnak olyan -szomszédsága, hogy for és for , akkor a függvény maximális pontja.

Ha van egy stacionárius pontnak olyan -szomszédsága, hogy for és for , akkor a függvény -minimális pontja.

a) Konvex irány. Inflexiós pontok

domború felfelé az intervallumon , ha ezen intervallum bármely pontján a függvény grafikonjára ábrázolt érintő alatt helyezkedik el.

Egy függvény grafikonja egy intervallumon felfelé konvexitásának elégséges feltétele az egyenlőtlenség teljesülése bármelyik figyelembe vett intervallumra.

Egy differenciálható függvény gráfját ún lefelé domború az intervallumon , ha ezen intervallum bármely pontján a függvény grafikonjára ábrázolt érintő felett helyezkedik el.

Egy függvény grafikonja egy intervallumon lefelé konvexitásának elégséges feltétele az egyenlőtlenség teljesülése bármelyik figyelembe vett intervallumra.

Azt a pontot, ahol egy függvény grafikonjának konvexitási iránya megváltozik, nevezzük inflexiós pont.

Az a pont, ahol vagy nem létezik, egy inflexiós pont abszcisszája, ha a tőle balra és jobbra lévő előjelek eltérőek.

d) Aszimptoták

Ha egy függvény grafikonján lévő pont és egy bizonyos egyenes távolsága nullára hajlik, amikor a pont végtelenül távolodik az origótól, akkor az egyenest ún. a függvény grafikonjának aszimptota.

Ha van olyan szám, hogy , akkor a vonal az függőleges aszimptota.

Ha vannak korlátok , akkor a vonal az ferde (k=0-nál vízszintes) aszimptota.

e) A funkció általános tanulmányozása

1. Funkciótartomány

2. A grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjai

3. Folytonossági, páros/páratlan és periodicitási függvény vizsgálata

4. Egy függvény monotonitásának intervallumai

5. A függvény szélsőpontjai

6. Függvénygráf konvexitási intervallumai és inflexiós pontjai

7. Egy függvény gráfjának aszimptotái

8. Függvénygrafikon.

5. feladat. Fedezze fel a függvényt, és készítse el a grafikonját.

Megoldás. 1) A függvény a teljes számegyenesen van definiálva, kivéve azt a pontot, ahol a tört nevezője nullára megy. . Van: nem tartozik ennek a függvénynek a definíciójának tartományába. Következésképpen ennek a függvénynek a stacionárius pontjai a minimális értékű pontok (ahogyan az ábrán látható).

8) A kapott adatok felhasználásával készítsük el az eredeti függvény grafikonját:

A cikk tartalma

DERIVÁLT– a függvény deriváltja y = f(x), adott időközönként ( a, b) pontban x Ennek az intervallumnak az a határértéke, amelyre a függvény növekményének aránya hajlik f ezen a ponton az argumentum megfelelő növekményére, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik.

A származékot általában a következőképpen jelölik:

Más megnevezéseket is széles körben használnak:

Azonnali sebesség.

Legyen a lényeg M egyenes vonalban mozog. Távolság s mozgópont, valamilyen kiindulási helyzetből számolva M 0 , időtől függ t, azaz s Van funkció idő t: s= f(t). Engedje meg valamikor t mozgó pont M távol volt s a kiinduló helyzetből M 0, és a következő pillanatban t+D t helyzetbe került M 1 - a távolságban s+D s a kiinduló helyzetből ( lásd a képet.).

Így egy ideig D t távolság s D összeggel változott s. Ebben az esetben azt mondják, hogy a D időtartam alatt t nagyságrendű s növekményt kapott D s.

Az átlagsebesség nem minden esetben képes pontosan jellemezni egy pont mozgási sebességét M egy adott időpontban t. Ha például a test a D intervallum elején t nagyon gyorsan, és a végén nagyon lassan mozgott, akkor az átlagsebesség nem fogja tudni tükrözni a pont mozgásának jelzett jellemzőit, és képet adni a mozgásának pillanatnyi sebességéről t. A valós sebesség pontosabb kifejezéséhez az átlagsebesség használatával, rövidebb D időtartamot kell venni t. Legteljesebben jellemzi egy pont mozgási sebességét pillanatnyilag t az a határ, amelyre az átlagsebesség D-nél hajlik t® 0. Ezt a határértéket aktuális sebességnek nevezzük:

Így egy adott pillanatban a mozgási sebességet a D útnövekedési arány határának nevezzük s időnövekedés D t, amikor az időnövekedés nullára hajlik. Mert

A származék geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője.

Az érintővonalak felépítése az egyik olyan probléma, amely a differenciálszámítás megszületéséhez vezetett. A differenciálszámítással kapcsolatos első publikált munka címet kapta, amelyet Leibniz írt A maximumok és minimumok, valamint érintők új módszere, amelyeknek sem a tört-, sem az irracionális mennyiségek nem jelentenek akadályt, és erre egy speciális számítási típus..

Legyen a görbe a függvény grafikonja y =f(x) téglalap alakú koordinátarendszerben ( cm. rizs.).

Valamilyen értékben x a funkció számít y =f(x). Ezek az értékek xÉs y a görbe pontja megfelel M 0(x, y). Ha az érvelés x adni növekedés D x, majd az argumentum új értéke x+D x megfelel az új függvényértéknek y+ D y = f(x + D x). A görbe megfelelő pontja lesz a pont M 1(x+D x,y+D y). Ha szekánst rajzol M 0M 1 és j-vel jelöljük az a szög, amelyet egy keresztirány a tengely pozitív irányával alkot Ökör, az ábrából azonnal kiderül, hogy .

Ha most D x nullára hajlik, akkor a lényeg M 1 a görbe mentén mozog, megközelítve a pontot M 0 és szög j változik D-vel x. Nál nél Dx® 0 a j szög egy bizonyos a határig tart és a ponton áthaladó egyenes M 0 és az x tengely pozitív irányú komponense, a szög, lesz a kívánt érintő. Lejtése:

Ennélfogva, f´( x) = tga

azok. származékos érték f´( x) adott argumentumértékhez x egyenlő a függvény grafikonjának érintője által alkotott szög érintőjével f(x) a megfelelő ponton M 0(x,y) pozitív tengelyiránnyal Ökör.

A funkciók differenciálhatósága.

Meghatározás. Ha a funkció y = f(x) származéka van a ponton x = x 0, akkor a függvény ezen a ponton differenciálható.

Egy függvény folytonossága, amelynek deriváltja van. Tétel.

Ha a funkció y = f(x) bizonyos pontokon differenciálható x = x 0, akkor ezen a ponton folytonos.

Így a függvénynek nem lehet deriváltja a folytonossági pontokon. Az ellenkező következtetés helytelen, i.e. attól, hogy valamikor x = x 0 funkció y = f(x) folytonos nem jelenti azt, hogy ezen a ponton differenciálható. Például a függvény y = |x| folyamatos mindenkinek x(–Ґ x x = 0-nak nincs deriváltja. Ezen a ponton nincs érintője a gráfnak. Van jobb oldali és bal oldali érintője, de ezek nem esnek egybe.

Néhány tétel a differenciálható függvényekről. Tétel a derivált gyökeiről (Rolle-tétel). Ha a funkció f(x) folyamatos a szakaszon [a,b], ennek a szegmensnek minden belső pontján és a végein differenciálható x = aÉs x = b nullára megy ( f(a) = f(b) = 0), majd a szegmensen belül [ a,b] van legalább egy pont x= Val vel, a c b, amelyben a derivált fў( x) nullára megy, azaz. fў( c) = 0.

Véges növekmény tétel (Lagrange-tétel). Ha a funkció f(x) folyamatos a [ a, b] és ennek a szegmensnek minden belső pontjában differenciálható, majd a szegmensen belül [ a, b] van legalább egy pont Val vel, a c b azt

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Tétel két függvény növekményének arányáról (Cauchy-tétel). Ha f(x) És g(x) – két folyamatos függvény a szegmensen [a, b] és ennek a szegmensnek minden belső pontján differenciálható, és gў( x) nem tűnik el sehol ezen a szegmensen belül, majd a szegmensen belül [ a, b] van egy ilyen pont x = Val vel, a c b azt

Különféle rendelések származékai.

Legyen a függvény y =f(x) bizonyos intervallumon differenciálható [ a, b]. Származékos értékek f ў( x), általában attól függ x, azaz derivált f ў( x) is függvénye x. Ennek a függvénynek a differenciálásakor megkapjuk a függvény úgynevezett második deriváltját f(x), amelyet jelölünk f ўў ( x).

Derivált n- a funkció rendje f(x) a derivált (elsőrendű) származékának nevezzük n- 1- és a szimbólum jelöli y(n) = (y(n– 1))ў.

Különböző sorrendű különbségek.

Funkció differenciál y = f(x), Ahol x– független változó, igen dy = f ў( x)dx, néhány funkciót x, hanem attól x csak az első tényezőtől függhet f ў( x), a második tényező ( dx) a független változó növekménye xés nem függ ennek a változónak az értékétől. Mert dy van egy függvény x, akkor meghatározhatjuk ennek a függvénynek a differenciálját. Egy függvény differenciáljának differenciálját e függvény másoddifferenciáljának vagy másodrendű differenciáljának nevezzük, és jelöljük d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Differenciális n- az elsőrendűt a differenciál első differenciáljának nevezzük n- 1- sorrend:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Részleges derivált.

Ha egy függvény nem egy, hanem több argumentumtól függ x i(én 1-től változik n,én= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), akkor a differenciálszámításban bevezetik a parciális derivált fogalmát, amely több változó függvényének változási sebességét jellemzi, amikor csak egy argumentum változik pl. x i. tekintetében elsőrendű részleges származékos x i közönséges deriváltként van definiálva, és feltételezzük, hogy minden argumentum, kivéve x i, tartsa állandó értékeket. A részleges deriváltoknál a jelölés kerül bevezetésre

Az így definiált I. rendű parciális deriváltoknak (azonos argumentumok függvényeiként) viszont lehetnek parciális deriváltak is, ezek másodrendű parciális deriváltok stb. A különböző argumentumokból vett ilyen származékokat vegyesnek nevezzük. Az azonos rendű folytonos kevert származékok nem függnek a differenciálási sorrendtől és egyenlőek egymással.

Anna Chugainova