Prirodni broj e. Povijest broja e. Pogledajte što je "broj e" u drugim rječnicima

Broj e može definirati na nekoliko načina.

Svojstva

Priča

Ovaj se broj ponekad naziva nepernati u čast škotskog znanstvenika Napiera, autora djela “Opis nevjerojatne tablice logaritama” (1614.). Međutim, ovaj naziv nije sasvim točan, jer ima logaritam broja x bila jednaka .

Konstanta se prvi put prešutno pojavljuje u dodatku engleskom prijevodu Napierovog gore spomenutog djela, objavljenog 1618. Iza kulisa, jer sadrži samo tablicu prirodnih logaritama određenih iz kinematičkih razmatranja, ali sama konstanta nije prisutna (vidi: Neper).

Samu konstantu prvi je izračunao švicarski matematičar Bernoulli analizirajući sljedeću granicu:

Prva poznata upotreba ove konstante, gdje je bila označena slovom b, pronađeno u Leibnizovim pismima Huygensu, -1691.

Pismo e Euler ga je počeo koristiti 1727. godine, a prva publikacija s ovim slovom bilo je njegovo djelo “Mehanika, ili znanost o gibanju, objašnjena analitički” iz 1736. godine. Odnosno, e obično se zove Eulerov broj. Iako su neki znanstvenici naknadno koristili slovo c, pismo e koristio se češće i sada je standardna oznaka.

Zašto je odabrano pismo? e, točno nepoznato. Možda je to zbog činjenice da riječ počinje s njim eksponencijalni(“indikativno”, “eksponencijalno”). Druga je pretpostavka da su slova a, b, c I d već su se prilično široko koristili u druge svrhe, i e bilo je prvo "slobodno" pismo. Nevjerojatno je pretpostaviti da je Euler izabrao e kao prvo slovo vašeg prezimena (njem. Euler).

Metode pamćenja

Da biste dobili približnu vrijednost, potrebno je zapisati brojeve u nizu koji izražavaju broj slova u riječima sljedeće rime, a iza prvog znaka staviti zarez: „Lepršali smo i blistali, ali smo zapeli u prolazu; Nisu prepoznali naš ukradeni skup.”
Rima:

Dva i sedam, osamnaest, dvadeset osam, osamnaest, dvadeset osam, četrdeset pet, devedeset, četrdeset pet.

Lako zapamtiti kao 2, zatim zapamtiti 71, zatim ponavljati 82, 81, 82
Broj e može se zapamtiti pomoću sljedećeg mnemotehničkog pravila: dva i sedam, zatim dva puta godina rođenja Lava Tolstoja (), zatim kutovi jednakokračnog pravokutnog trokuta ( 45 , 90 I 45 stupnjeva). Poetična mnemonička fraza koja ilustrira dio ovog pravila: "Postoji jednostavan način da izlagač zapamti: dvije i sedam desetina, dva puta Lav Tolstoj"
Brojeve 45, 90 i 45 možemo zapamtiti kao “godinu pobjede nad nacističkom Njemačkom, zatim ove godine dva puta i ove godine opet”
U drugoj verziji pravila e povezan s američkim predsjednikom Andrewom Jacksonom: 2 - toliko puta biran, 7 - bio je sedmi predsjednik Sjedinjenih Država, - godina njegovog izbora, ponovljena dva puta, budući da je Jackson dva puta biran. Zatim - opet jednakokračan pravokutni trokut.

Dokaz iracionalnosti

Neka bude racionalno. Zatim , Gdje i su pozitivni cijeli brojevi, odakle

Množenjem obje strane jednadžbe s , dobivamo

Pomaknite se na lijevu stranu:

Svi članovi s desne strane su cijeli brojevi, dakle:

- cijeli

Ali na drugi način

Dobivamo kontradikciju.

Počeo sam programirati 1960. godine u FORTRAN-u II koristeći računalo IBM 1620. U to vrijeme, 60-ih i 70-ih, FORTRAN je koristio samo velika slova. To je moglo biti zato što su većina starijih ulaznih uređaja bili teletip strojevi koji su radili na 5-bitnom Baudotovom kodu, koji nije podržavao mala slova. Slovo E u eksponencijalnom zapisu također je bilo veliko i nije pomiješano s bazom prirodnog logaritma e, koji se uvijek piše malim slovom. Simbol E jednostavno je izražavao eksponencijalni karakter, odnosno označavao je bazu sustava - obično je to bilo 10. Tih su godina programeri naširoko koristili oktalni sustav. Iako to nisam primijetio, da sam vidio oktalni broj u eksponencijalnom obliku, pretpostavio bih da znači bazu 8. Prvi put sam naišao na to koristeći malu e u eksponencijalnom zapisu u kasnim 70-ima, i bilo je vrlo nezgodno. Problemi su se pojavili kasnije kada su mala slova inercijom prešla u FORTRAN. Imali smo sve potrebne funkcije za rad s prirodnim logaritmima, ali sve su bile napisane velikim slovima.

Dakle, unos poput 7.38e-43 u programskim jezicima odgovarat će broju

, ali ne .

Bilješke

Linkovi

Povijest broja e(Engleski)
niz A001113 u OEIS-u

Brojevi s vlastitim imenima
Stvaran	Zlatni rez \| e(Eulerov broj) \| Pi \| Skewesov broj
Prirodno	Đavolja desetka \| Broj zvijeri \| Ramanujan - Izdržljiv broj
Potencija desetice	bezbroj \| Google \| Asankheya \| Googolplex
Moći tisućice	tisuća \| Milijun \| Milijarda \| Milijarda \| Trilijun... \| ... Centilijun \| Zillion
Moći dvanaestice	Desetak \| Bruto \| Težina
Mjere za književno brojanje	Izvanredni profesor \| Bezbroj

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "broj e" u drugim rječnicima:

broj- Izvor primanja: GOST 111 90: Limeno staklo. Izvorni dokument tehničkih specifikacija Vidi i srodne pojmove: 109. Broj betatronskih oscilacija ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Imenica, s., korištena. vrlo često Morfologija: (ne) što? brojevi, što? broj, (vidjeti) što? broj, što? broj, o čemu? o broju; pl. Što? brojevi, (ne) što? brojevi, zašto? brojevi, (vidjeti) što? brojevi, što? brojke, o čemu? o brojevima matematika 1. Brojem... ... Dmitrievljev objašnjavajući rječnik

BROJ, brojevi, množina. brojevima, brojevima, brojevima, gl. 1. Pojam koji služi kao izraz količine, nešto s pomoću čega se broje predmeti i pojave (mat.). Cijeli broj. Razlomački broj. Imenovani broj. Glavni broj. (pogledajte jednostavnu vrijednost 1 u 1).… … Ušakovljev objašnjavajući rječnik

Apstraktna oznaka lišena posebnog sadržaja za bilo koji član određene serije, u kojoj ispred ili iza tog člana stoji neki drugi određeni član; apstraktno individualno obilježje koje razlikuje jedan skup od... ... Filozofska enciklopedija

Broj- Broj je gramatička kategorija koja izražava kvantitativna svojstva predmeta mišljenja. Gramatički broj jedna je od manifestacija općenitije jezične kategorije kvantitete (vidi kategoriju Jezik) zajedno s leksičkom manifestacijom („leksičko... ... Lingvistički enciklopedijski rječnik

Broj približno jednak 2,718, koji se često nalazi u matematici i znanosti. Na primjer, kada se radioaktivna tvar raspadne nakon vremena t, od početne količine tvari ostaje dio jednak e kt, gdje je k broj,... ... Collierova enciklopedija

A; pl. brojevi, sat, slam; oženiti se 1. Obračunska jedinica koja izražava određenu količinu. Razlomak, cijeli broj, prosti sati. Parni, neparni sati. Broji okruglim brojevima (približno, računajući cijele jedinice ili desetice). Prirodni h. (pozitivan cijeli broj... enciklopedijski rječnik

Oženiti se. količina, brojanjem, na pitanje: koliko? i sam znak koji izražava količinu, broj. Bez broja; nema broja, bez brojanja, mnogo, mnogo. Postavite pribor za jelo prema broju gostiju. Rimski, arapski ili crkveni brojevi. Cijeli broj, suprotno. razlomak...... Dahlov eksplanatorni rječnik

BROJ, a, množina. brojevi, sat, slam, usp. 1. Osnovni pojam matematike je kvantiteta, uz pomoć koje se vrši računanje. Cijeli h. Razlomak h. Realni h. Složeni h. Prirodni h. (pozitivan cijeli broj). Prost broj (prirodni broj, ne... ... Ozhegovov objašnjavajući rječnik

BROJ “E” (EXP), iracionalan broj koji služi kao osnova prirodnih LOGARITAMA. Ovaj pravi decimalni broj, beskonačni razlomak jednak 2,7182818284590..., granica je izraza (1/) dok n teži beskonačnosti. Zapravo,… … Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

Arhimedov broj

Što je jednako: 3,1415926535…Danas je izračunato do 1,24 bilijuna decimalnih mjesta

Kada slaviti dan pi- jedina konstanta koja ima svoj praznik, pa čak i dva. 14. ožujka, odnosno 3.14, odgovara prvim znamenkama broja. A 22. srpnja, ili 7/22, nije ništa više od grube aproksimacije π kao razlomka. Na sveučilištima (na primjer, na Fakultetu mehanike i matematike Moskovskog državnog sveučilišta) radije slave prvi datum: za razliku od 22. srpnja, on ne pada na odmor

Što je pi? 3.14, broj iz školskih zadataka o krugovima. I u isto vrijeme - jedan od glavnih brojeva u modernoj znanosti. Fizičarima je obično potreban π tamo gdje se ne spominju krugovi - recimo, za modeliranje solarnog vjetra ili eksplozije. Broj π pojavljuje se u svakoj drugoj jednadžbi - možete nasumično otvoriti udžbenik teorijske fizike i odabrati bilo koji. Ako nemate udžbenik, poslužit će i karta svijeta. Obična rijeka sa svim svojim zavojima i zavojima je π puta duža od ravnog puta od njenog ušća do izvora.

Za to je kriv sam prostor: homogen je i simetričan. Zato je prednji dio udarnog vala loptast, a kamenje ostavlja krugove na vodi. Dakle, π ispada sasvim prikladnim ovdje.

Ali sve se to odnosi samo na poznati euklidski prostor u kojem svi živimo. Da je neeuklidska, simetrija bi bila drugačija. A u jako zakrivljenom Svemiru, π više ne igra tako važnu ulogu. Na primjer, u geometriji Lobačevskog, krug je četiri puta duži od svog promjera. U skladu s tim, rijeke ili eksplozije “krivog prostora” zahtijevale bi druge formule.

Broj π star je koliko i sva matematika: oko 4 tisuće. Najstarije sumerske ploče daju brojku od 25/8, ili 3,125. Greška je manja od postotka. Babilonce nije posebno zanimala apstraktna matematika, pa je π izveden eksperimentalno jednostavnim mjerenjem duljine kružnica. Inače, ovo je prvi eksperiment u numeričkom modeliranju svijeta.

Najelegantnija aritmetička formula za π stara je više od 600 godina: π/4=1–1/3+1/5–1/7+... Jednostavna aritmetika pomaže izračunati π, a sam π pomaže u razumijevanju duboka svojstva aritmetike. Otuda njegova povezanost s vjerojatnostima, prostim brojevima i još mnogo toga: π je, na primjer, dio dobro poznate “funkcije pogreške” koja podjednako besprijekorno funkcionira u kockarnicama i među sociolozima.

Postoji čak i "probabilistički" način za brojanje same konstante. Prvo, morate se opskrbiti vrećicom igala. Drugo, bacite ih, bez ciljanja, na pod, obložen kredom u trake širine iglua. Zatim, kada je vreća prazna, podijelite broj bačenih s brojem onih koji su prešli crte kredom - i dobijete π/2.

Kaos

Feigenbaumova konstanta

Što je jednako: 4,66920016…

Gdje se koristi: U teoriji kaosa i katastrofa, uz pomoć koje možete opisati bilo koji fenomen - od širenja E. coli do razvoja ruskog gospodarstva

Tko je i kada otvorio: Američki fizičar Mitchell Feigenbaum 1975. Za razliku od većine drugih otkrivača konstanti (Arhimeda, na primjer), on je živ i predaje na prestižnom Sveučilištu Rockefeller

Kada i kako slaviti dan δ: Prije generalnog čišćenja

Što je zajedničko brokuli, pahuljicama i božićnom drvcu? Činjenica da njihovi detalji u minijaturi ponavljaju cjelinu. Takvi objekti, raspoređeni poput lutke, nazivaju se fraktali.

Fraktali nastaju iz nereda, poput slike u kaleidoskopu. Godine 1975. matematičar Mitchell Feigenbaum nije se zainteresirao za same obrasce, već za kaotične procese koji uzrokuju njihovu pojavu.

Feigenbaum je proučavao demografiju. Dokazao je da se rođenje i smrt ljudi također mogu modelirati prema fraktalnim zakonima. Tada je dobio ovaj δ. Konstanta se pokazala univerzalnom: nalazi se u opisu stotina drugih kaotičnih procesa, od aerodinamike do biologije.

Mandelbrotov fraktal (vidi sliku) započeo je raširenu fascinaciju ovim objektima. U teoriji kaosa igra približno istu ulogu kao krug u običnoj geometriji, a broj δ zapravo određuje njegov oblik. Ispada da je ta konstanta ista kao π, samo za kaos.

Vrijeme

Napierov broj

Što je jednako: 2,718281828…

Tko je i kada otvorio: John Napier, škotski matematičar, 1618. Sam broj nije spomenuo, ali je na temelju njega izgradio svoje tablice logaritama. Istodobno, Jacob Bernoulli, Leibniz, Huygens i Euler smatraju se kandidatima za autore konstante. Ono što se pouzdano zna jest da simbol e došlo od prezimena

Kada i kako proslaviti e-dan: Nakon otplate bankovnog kredita

Broj e je također vrsta duplika od π. Ako je π odgovoran za prostor, onda je e odgovoran za vrijeme, a također se manifestira gotovo posvuda. Recimo da se radioaktivnost polonija-210 smanjuje za faktor e tijekom prosječnog životnog vijeka jednog atoma, a ljuštura mekušca Nautilusa je graf potencije e omotan oko osi.

Broj e javlja se i tamo gdje priroda očito nema ništa s tim. Banka koja obećava 1% godišnje povećat će depozit otprilike e puta tijekom 100 godina. Za 0,1% i 1000 godina rezultat će biti još bliži konstanti. Jacob Bernoulli, stručnjak i teoretičar kockanja, izveo je to upravo na ovaj način - govoreći o tome koliko zarađuju lihvari.

Kao π, e- transcendentalni broj. Pojednostavljeno rečeno, ne može se izraziti kroz razlomke i korijene. Postoji hipoteza da takvi brojevi u beskonačnom "repu" iza decimalne točke sadrže sve moguće kombinacije brojeva. Na primjer, tamo možete pronaći tekst ovog članka, napisan u binarnom kodu.

Svjetlo

Konstanta fine strukture

Što je jednako: 1/137,0369990…

Tko je i kada otvorio: Njemački fizičar Arnold Sommerfeld, čiji su diplomci bili dva nobelovca - Heisenberg i Pauli. Godine 1916., čak i prije pojave prave kvantne mehanike, Sommerfeld je u običan članak uveo konstantu o "finoj strukturi" spektra atoma vodika. Uloga konstante ubrzo je preispitana, ali naziv je ostao isti

Kada slaviti dan α: Na dan električara

Brzina svjetlosti je izuzetna vrijednost. Einstein je pokazao da se ni tijelo ni signal ne mogu kretati brže - bila to čestica, gravitacijski val ili zvuk unutar zvijezda.

Čini se jasnim da je to zakon od univerzalne važnosti. Ipak, brzina svjetlosti nije temeljna konstanta. Problem je što se nema čime mjeriti. Kilometri na sat neće poslužiti: kilometar je definiran kao udaljenost koju svjetlost prijeđe u 1/299792,458 sekunde, to jest, sam se izražava brzinom svjetlosti. Platinasti metarski standard također nije rješenje, jer je i brzina svjetlosti uključena u jednadžbe koje opisuju platinu na mikrorazini. Ukratko, ako se brzina svjetlosti tiho mijenja u svemiru, čovječanstvo za to neće znati.

Tu fizičarima u pomoć priskače veličina koja povezuje brzinu svjetlosti sa svojstvima atoma. Konstanta α je "brzina" elektrona u atomu vodika podijeljena s brzinom svjetlosti. Bezdimenziona je, odnosno nije vezana za metre, sekunde ili bilo koje druge jedinice.

Osim brzine svjetlosti, formula za α također uključuje naboj elektrona i Planckovu konstantu, mjeru "kvantne kvalitete" svijeta. Isti problem povezan je s obje konstante - nema ih s čime usporediti. A zajedno, u obliku α, predstavljaju nešto poput jamstva postojanosti Svemira.

Netko bi se mogao zapitati nije li se α promijenio od početka vremena. Fizičari ozbiljno priznaju "defekt" koji je jednom dosegao milijunti dio svoje trenutne vrijednosti. Kada bi dosegla 4%, čovječanstvo ne bi postojalo, jer bi unutar zvijezda prestala termonuklearna fuzija ugljika, glavnog elementa žive tvari.

Dodatak stvarnosti

Imaginarna jedinica

Što je jednako: √-1

Tko je i kada otvorio: Talijanski matematičar Gerolamo Cardano, prijatelj Leonarda da Vincija, 1545. Po njemu je pogonsko vratilo nazvano po njemu. Prema jednoj verziji, Cardano je svoje otkriće ukrao od Niccolòa Tartaglie, kartografa i dvorskog knjižničara

Kada slaviti dan i: 86. ožujka

Broj i se ne može nazvati konstantom pa čak ni realnim brojem. Udžbenici ga opisuju kao količinu koja, kada se kvadrira, daje minus jedan. Drugim riječima, to je stranica kvadrata s negativnom površinom. U stvarnosti se to ne događa. Ali ponekad možete imati koristi i od nestvarnog.

Povijest otkrića ove konstante je sljedeća. Matematičar Gerolamo Cardano, rješavajući jednadžbe s kockama, uveo je imaginarnu jedinicu. Ovo je bio samo pomoćni trik - nije bilo i u konačnim odgovorima: rezultati koji su ga sadržavali bili su odbačeni. Ali kasnije, nakon što su pomnije pogledali svoje "smeće", matematičari su ga pokušali pustiti u rad: množenje i dijeljenje običnih brojeva zamišljenom jedinicom, zbrajanje rezultata jedni drugima i zamjena u novim formulama. Tako je rođena teorija kompleksnih brojeva.

Nedostatak je što se "stvarno" ne može usporediti s "nestvarnim": neće uspjeti reći da je veće imaginarna jedinica ili 1. S druge strane, praktički nema nerješivih jednadžbi ako koristite kompleksne brojeve. Stoga je sa složenim izračunima prikladnije raditi s njima i samo "očistiti" odgovore na samom kraju. Na primjer, da biste dešifrirali tomogram mozga, ne možete bez i.

Upravo tako fizičari tretiraju polja i valove. Može se čak smatrati da svi oni postoje u jednom složenom prostoru, a da je ono što vidimo samo sjena “pravih” procesa. Kvantna mehanika, gdje su i atom i osoba valovi, čini ovo tumačenje još uvjerljivijim.

Broj i omogućuje sažetak glavnih matematičkih konstanti i akcija u jednoj formuli. Formula izgleda ovako: e πi +1 = 0, a neki kažu da se takav sažeti skup matematičkih pravila može poslati vanzemaljcima kako bi ih uvjerili u našu inteligenciju.

Mikrosvijet

Masa protona

Što je jednako: 1836,152…

Tko je i kada otvorio: Ernest Rutherford, novozelandski fizičar, 1918. 10 godina ranije dobio je Nobelovu nagradu za kemiju za proučavanje radioaktivnosti: Rutherford je posjedovao koncept "vremena poluraspada" i same jednadžbe koje opisuju raspad izotopa

Kada i kako slaviti μ dan: Na Dan mršavljenja, ako se uvodi, to je omjer masa dviju osnovnih elementarnih čestica, protona i elektrona. Proton nije ništa više od jezgre atoma vodika, najzastupljenijeg elementa u svemiru.

Kao i u slučaju brzine svjetlosti, nije bitna sama veličina, već njen bezdimenzionalni ekvivalent, nevezan ni za kakve jedinice, odnosno koliko je puta masa protona veća od mase elektrona . Ispada da je otprilike 1836. Bez takve razlike u "težinskim kategorijama" nabijenih čestica, ne bi bilo ni molekula ni krutih tvari. Međutim, atomi bi ostali, ali bi se ponašali potpuno drugačije.

Kao i α, sumnja se da μ ima sporu evoluciju. Fizičari su proučavali svjetlost kvazara, koja je stigla do nas nakon 12 milijardi godina, i otkrili da protoni s vremenom postaju teži: razlika između pretpovijesnih i modernih vrijednosti μ bila je 0,012%.

Tamna tvar

Kozmološka konstanta

Što je jednako: 110-²³ g/m3

Tko je i kada otvorio: Albert Einstein 1915. godine. Sam Einstein je to otkriće nazvao svojom "velikom greškom".

Kada i kako slaviti Dan Λ: Svake sekunde: Λ je po definiciji prisutan uvijek i svugdje

Kozmološka konstanta je najmaglovitija od svih veličina s kojima astronomi operiraju. S jedne strane, znanstvenici nisu posve sigurni u njegovo postojanje, s druge strane, spremni su njime objasniti odakle dolazi najveći dio mase-energije u Svemiru.

Možemo reći da Λ nadopunjuje Hubbleovu konstantu. Povezani su kao brzina i ubrzanje. Ako H opisuje ravnomjerno širenje Svemira, tada Λ kontinuirano ubrzava rast. Einstein ga je prvi uveo u jednadžbe opće relativnosti kada je posumnjao na pogrešku. Njegove formule pokazivale su da se prostor ili širi ili skuplja, u što je bilo teško povjerovati. Bio je potreban novi član kako bi se otklonili zaključci koji su se činili nevjerojatnima. Nakon Hubbleovog otkrića, Einstein je napustio svoju konstantu.

Svoje drugo rođenje, 90-ih godina prošlog stoljeća, konstanta duguje ideji o tamnoj energiji “skrivenoj” u svakom kubnom centimetru prostora. Kao što slijedi iz promatranja, energija nejasne prirode trebala bi "gurati" prostor iznutra. Grubo govoreći, ovo je mikroskopski veliki prasak, koji se događa svake sekunde i posvuda. Gustoća tamne energije je Λ.

Hipoteza je potvrđena promatranjem kozmičkog mikrovalnog pozadinskog zračenja. To su prapovijesni valovi rođeni u prvim sekundama postojanja svemira. Astronomi ih smatraju nečim poput rendgenskih zraka koje sjaje kroz svemir. “Rentgenska slika” je pokazala da na svijetu postoji 74% tamne energije - više od svega ostalog. Međutim, budući da je "razmazan" po svemiru, ispada da iznosi samo 110-²³ grama po kubnom metru.

Veliki prasak

Hubbleova konstanta

Što je jednako: 77 km/s/mps

Tko je i kada otvorio: Edwin Hubble, utemeljitelj cijele moderne kozmologije, 1929. Nešto ranije, 1925. godine, prvi je dokazao postojanje drugih galaksija izvan Mliječnog puta. Koautor prvog članka koji spominje Hubbleovu konstantu je izvjesni Milton Humason, čovjek bez visokog obrazovanja koji je radio na zvjezdarnici kao laborant. Humason posjeduje prvu fotografiju Plutona, tada neotkrivenog planeta, koji je zanemaren zbog kvara na fotografskoj ploči.

Kada i kako proslaviti Dan H: 0. siječnja. Od tog nepostojećeg broja astronomski kalendari počinju računati Novu godinu. Poput samog trenutka Velikog praska, malo se zna o događajima od 0. siječnja, što praznik čini dvostruko prikladnijim

Glavna konstanta kozmologije je mjera brzine kojom se Svemir širi kao rezultat Velikog praska. I sama ideja i konstanta H sežu do zaključaka Edwina Hubblea. Galaksije bilo gdje u svemiru udaljavaju se jedna od druge, a što je udaljenost između njih veća, to brže rade. Poznata konstanta jednostavno je faktor s kojim se udaljenost množi da bi se dobila brzina. Mijenja se s vremenom, ali dosta sporo.

Jedan podijeljen s H daje 13,8 milijardi godina, vrijeme od Velikog praska. Sam Hubble je bio prvi koji je dobio ovu brojku. Kako se kasnije pokazalo, Hubbleova metoda nije bila sasvim točna, ali je ipak bila manje od postotka pogrešna u usporedbi s modernim podacima. Pogreška oca utemeljitelja kozmologije bila je u tome što je broj H smatrao konstantnim od početka vremena.

Kugla oko Zemlje polumjera od 13,8 milijardi svjetlosnih godina — brzina svjetlosti podijeljena s Hubbleovom konstantom — naziva se Hubbleova sfera. Galaksije izvan svoje granice trebale bi "bježati" od nas superluminalnom brzinom. Ovdje nema proturječja s teorijom relativnosti: čim odaberete točan koordinatni sustav u zakrivljenom prostor-vremenu, problem prekoračenja brzine odmah nestaje. Dakle, vidljivi svemir ne završava izvan Hubbleove sfere; njegov radijus je otprilike tri puta veći.

Gravitacija

Planckova masa

Što je jednako: 21,76… µg

Gdje radi: Fizika mikrosvijeta

Tko je i kada otvorio: Max Planck, tvorac kvantne mehanike, 1899. Planckova masa samo je jedna od niza veličina koje je Planck predložio kao "sustav težina i mjera" za mikrokozmos. Definicija koja spominje crne rupe - i sama teorija gravitacije - pojavila se nekoliko desetljeća kasnije.

Obična rijeka sa svim svojim zavojima i zavojima je π puta duža od ravnog puta od njenog ušća do izvora

Kada i kako proslaviti danmp: Na dan otvaranja Velikog hadronskog sudarača: tamo će se stvoriti mikroskopske crne rupe

Jacob Bernoulli, stručnjak za kockanje i teoretičar, izveo je e razmišljajući o tome koliko su zarađivali lihvari

Spajanje teorija s fenomenima po veličini popularan je pristup u 20. stoljeću. Ako je za elementarnu česticu potrebna kvantna mehanika, onda je za neutronsku zvijezdu potrebna teorija relativnosti. Štetnost takvog odnosa prema svijetu bila je jasna od samog početka, ali jedinstvena teorija svega nikada nije stvorena. Do sada su pomirene samo tri od četiri temeljne vrste interakcije - elektromagnetska, jaka i slaba. Gravitacija je još uvijek po strani.

Einsteinova korekcija je gustoća tamne tvari, koja gura prostor iznutra

Planckova masa je konvencionalna granica između “velikog” i “malog”, odnosno upravo između teorije gravitacije i kvantne mehanike. Toliko bi trebala težiti crna rupa čije se dimenzije podudaraju s valnom duljinom koja joj kao mikroobjektu odgovara. Paradoks je u tome što astrofizika granicu crne rupe tretira kao strogu barijeru preko koje ne mogu prodrijeti ni informacije, ni svjetlost, ni materija. A s kvantne točke gledišta, valni objekt će biti ravnomjerno "razmazan" po cijelom prostoru - i barijera zajedno s njim.

Planckova masa je masa larve komarca. Ali sve dok komarcu ne prijeti gravitacijski kolaps, kvantni paradoksi neće utjecati na njega

mp je jedna od rijetkih jedinica u kvantnoj mehanici koja se može koristiti za mjerenje objekata u našem svijetu. Toliko može biti teška ličinka komarca. Druga stvar je da sve dok komarcu ne prijeti gravitacijski kolaps, kvantni paradoksi neće utjecati na njega.

Beskonačnost

Grahamov broj

Što je jednako:

Tko je i kada otvorio: Ronald Graham i Bruce Rothschild
1971. godine. Članak je objavljen pod dva imena, no popularizatori su odlučili štedjeti papir i ostavili samo prvi

Kada i kako proslaviti G-Day: Ne tako skoro, ali jako dugo

Ključna operacija za ovaj dizajn su Knuthove strijele. 33 je tri na treću potenciju. 33 je tri podignuto na tri, koje je pak podignuto na treću potenciju, to jest 3 27, ili 7625597484987. Tri strelice su već broj 37625597484987, gdje se trojka na ljestvici eksponenata potencije ponavlja točno toliko puta - 7625597484987 - puta. To je već više od broja atoma u Svemiru: ima ih samo 3168. A u formuli za Grahamov broj, čak ni sam rezultat ne raste istom brzinom, već broj strelica u svakoj fazi njegovog izračuna.

Konstanta se pojavila u apstraktnom kombinatornom problemu i ostavila iza sebe sve veličine povezane sa sadašnjim ili budućim veličinama Svemira, planeta, atoma i zvijezda. Čime je, čini se, još jednom potvrđena neozbiljnost prostora na pozadini matematike kojom se on može pojmiti.

Ilustracije: Varvara Alyai-Akatyeva

Kao nešto beznačajno. To se dogodilo 1618. U dodatku Napierovu djelu o logaritmima dana je tablica prirodnih logaritama raznih brojeva. Međutim, nitko nije shvatio da su to bili logaritmi na bazu, budući da koncept logaritma u to vrijeme nije uključivao takvu stvar kao što je baza. To je ono što sada zovemo logaritam, potenciju na koju se mora podići baza da bi se dobio traženi broj. Na ovo ćemo se vratiti kasnije. Tablicu u dodatku najvjerojatnije je izradio Augthred, iako autor nije identificiran. Nekoliko godina kasnije, 1624., ponovno se pojavljuje u matematičkoj literaturi, ali opet na prikriven način. Ove godine Briggs je dao numeričku aproksimaciju decimalnog logaritma, ali se sam broj ne spominje u njegovom radu.

Sljedeće pojavljivanje broja opet je upitno. Godine 1647. Saint-Vincent je izračunao površinu sektora hiperbole. Je li razumio vezu s logaritmima može se samo nagađati, ali i da je razumio, teško da bi mogao doći do samog broja. Tek je 1661. Huygens shvatio vezu između jednakostranične hiperbole i logaritama. On je dokazao da je površina ispod grafa jednakostraničnog hiperbola od jednakostraničnog hiperbola na intervalu od do jednaka . Ovo svojstvo čini osnovu prirodnih logaritama, ali to tadašnji matematičari nisu razumjeli, ali su se polako približavali tom shvaćanju.

Huygens je napravio sljedeći korak 1661. Definirao je krivulju koju je nazvao logaritamskom (u našoj terminologiji mi ćemo je zvati eksponencijalnom). Ovo je krivulja tipa. I ponovno se pojavljuje decimalni logaritam, za koji Huygens smatra da je točan na 17 decimalnih znamenki. Međutim, proizašao je iz Huygensa kao vrsta konstante i nije bio povezan s logaritmom broja (dakle, ponovno su se približili , ali sam broj ostaje neprepoznat).

U daljnjem radu na logaritmima broj se opet ne pojavljuje eksplicitno. Međutim, proučavanje logaritama se nastavlja. Godine 1668. Nicolaus Mercator objavio je djelo Logaritmotehnika, koji sadrži proširenje serije. U ovom radu Mercator prvi put koristi naziv “prirodni logaritam” za osnovni logaritam. Broj se očito više ne pojavljuje, nego ostaje nedostižan negdje po strani.

Iznenađujuće je da se broj prvi put pojavljuje u eksplicitnom obliku ne u vezi s logaritmima, već u vezi s beskonačnim umnošcima. Godine 1683. Jacob Bernoulli pokušava pronaći

On koristi binomni teorem da dokaže da je ta granica između i , što možemo zamisliti kao prvu aproksimaciju . Iako ovo smatramo definicijom , ovo je prvi put da je broj definiran kao granica. Bernoulli, naravno, nije razumio vezu između svog rada i rada na logaritmima.

Prethodno je spomenuto da logaritmi na početku njihovog proučavanja nisu bili ni na koji način povezani s eksponentima. Naravno, iz jednadžbe nalazimo da , ali ovo je mnogo kasniji način opažanja. Ovdje zapravo mislimo na funkciju pod logaritmom, dok se u početku logaritam smatrao samo brojem koji pomaže u računanju. Jacob Bernoulli je možda bio prvi koji je shvatio da je logaritamska funkcija inverzna eksponencijalna. S druge strane, prva osoba koja je povezala logaritme i potencije možda je bio James Gregory. Godine 1684. sigurno je prepoznao vezu između logaritama i potencija, ali možda nije bio prvi.

Znamo da se broj u današnjem obliku pojavio 1690. Leibniz je u pismu Huygensu upotrijebio tu oznaku za njega. Konačno se pojavila oznaka (iako se nije podudarala s modernom), i ta je oznaka bila prepoznata.

Godine 1697. Johann Bernoulli počeo je proučavati eksponencijalnu funkciju i objavio Principia calculi exponentialum seu percurrentium. U ovom radu izračunavaju se zbrojevi raznih eksponencijalnih nizova, a neki rezultati dobiveni su njihovom integracijom po članu.

Euler je uveo toliko matematičkih oznaka da
nije iznenađujuće, oznaka također pripada njemu. Čini se smiješnim reći da je upotrijebio slovo jer je to prvo slovo njegova imena. To vjerojatno nije čak ni zato što je preuzeto iz riječi "exponential", već jednostavno zato što je to sljedeći samoglasnik nakon "a", a Euler je već koristio oznaku "a" u svom radu. Bez obzira na razlog, zapis se prvi put pojavljuje u Eulerovom pismu Goldbachu 1731. Došao je do mnogih otkrića dok je dalje proučavao, ali tek 1748. Introductio in Analysin infinitorum dao je puno opravdanje za sve ideje vezane uz. Pokazao je to

Euler je također pronašao prvih 18 decimalnih mjesta broja:

međutim, bez objašnjenja kako ih je dobio. Čini se da je sam izračunao ovu vrijednost. Zapravo, ako uzmemo oko 20 članova niza (1), dobit ćemo točnost koju je postigao Euler. Među ostalim zanimljivim rezultatima u njegovom radu je veza između funkcija sinus i kosinus i kompleksne eksponencijalne funkcije koju je Euler izveo iz De Moivreove formule.

Zanimljivo je da je Euler pronašao čak i rastavljanje broja na kontinuirane razlomke i dao primjere takvog rastavljanja. Konkretno, primio je
I
Euler nije dao dokaz da se ovi razlomci nastavljaju na isti način, ali je znao da bi, ako postoji takav dokaz, to dokazalo iracionalnost. Doista, kad bi se nastavljeni razlomak za nastavio na isti način kao u gornjem primjeru (dodajemo svaki put), tada nikada ne bi bio prekinut, i (i stoga) ne bi mogao biti racionalan. Ovo je očito prvi pokušaj dokazivanja iracionalnosti.

Prvi koji je izračunao prilično velik broj decimalnih mjesta bio je Shanks 1854. Glaisher je pokazao da je prvih 137 znamenki koje je Shanks izračunao bilo točnih, ali je zatim pronašao grešku. Shanks ga je ispravio i dobiveno je 205 decimalnih mjesta. U stvarnosti vam je potrebno oko
120 uvjeta proširenja (1) da biste dobili 200 točnih znamenki broja.

Godine 1864. Benjamin Peirce stajao je uz ploču na kojoj je pisalo

U svojim predavanjima mogao bi reći svojim studentima: "Gospodo, nemamo pojma što to znači, ali možemo biti sigurni da znači nešto vrlo važno."

Većina ljudi vjeruje da je Euler dokazao iracionalnost broja. Međutim, to je učinio Hermite 1873. Pitanje je li broj algebarski još uvijek ostaje otvoreno. Konačni rezultat u ovom smjeru je da je barem jedan od brojeva transcendentalan.

Zatim su izračunata sljedeća decimalna mjesta broja. Godine 1884. Boorman je izračunao 346 znamenki, od kojih se prvih 187 poklapalo sa Shanksovim znamenkama, ali su se sljedeće razlikovale. Godine 1887. Adams je izračunao 272 znamenke decimalnog logaritma.

Svi znaju geometrijsko značenje broja π je duljina kruga s jediničnim promjerom:

Ali ovdje je značenje još jedne važne konstante, e, ima tendenciju da se brzo zaboravi. Odnosno, ne znam za vas, ali mene svaki put košta truda da se sjetim zašto je ovaj broj jednak 2,7182818284590 tako izvanredan... (Ja sam, međutim, vrijednost zapisao iz sjećanja). Pa sam odlučio napisati poruku kako mi ništa drugo ne bi iskliznulo iz sjećanja.

Broj e po definiciji – limit funkcije g = (1 + 1 / x) x na x → ∞:

x	g
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × → ∞	= 2,7182818284590...

Ova definicija, nažalost, nije jasna. Nije jasno zašto je ova granica izvanredna (unatoč činjenici da se naziva "druga izvanredna"). Zamislite samo, uzeli su neku nespretnu funkciju i izračunali granicu. Drugačija funkcija imat će drugačiju.

Ali broj e Iz nekog razloga to se pojavljuje u čitavoj hrpi različitih situacija u matematici.

Za mene je glavno značenje broja e otkriva se u ponašanju druge, mnogo zanimljivije funkcije, g = k x. Ova funkcija ima jedinstveno svojstvo kada k = e, što se grafički može prikazati ovako:

U točki 0 funkcija preuzima vrijednost e 0 = 1. Ako povučete tangentu u točki x= 0, tada će prijeći na x-os pod kutom s tangentom 1 (in žuti trokut omjer suprotne strane 1 prema susjednoj strani 1 je 1). U točki 1 funkcija preuzima vrijednost e 1 = e. Ako povučete tangentu u točku x= 1, tada će prolaziti pod kutom s tangentom e(V zeleni trokut odnos suprotne strane e susjednom 1 je jednako e). U točki 2 vrijednost e 2 funkcije opet se podudara s tangentom kuta nagiba tangente na nju. Zbog toga u isto vrijeme same tangente sijeku x-os točno u točkama −1, 0, 1, 2 itd.

Među svim funkcijama g = k x(na primjer 2 x , 10 x , π x itd.), funkcija e x- jedini koji ima takvu ljepotu da se tangens kuta njegovog nagiba u svakoj od njegovih točaka podudara s vrijednošću same funkcije. To znači da se, po definiciji, vrijednost ove funkcije u svakoj točki podudara s vrijednošću njezine derivacije u ovoj točki: ( e x)´ = e x. Iz nekog razloga broj e= 2,7182818284590... potrebno je podići na različite potencije da bi se dobila ovakva slika.

To je, po mom mišljenju, njegov smisao.

Brojke π I e uključeni su u moju omiljenu formulu - Eulerovu formulu, koja povezuje 5 najvažnijih konstanti - nula, jedan, imaginarna jedinica ja a zapravo i brojke π I e:

e iπ + 1 = 0

Zašto je broj 2,7182818284590... na kompleksnu potenciju 3,1415926535... ja odjednom jednako minus jedan? Odgovor na ovo pitanje je izvan opsega ove bilješke i mogao bi činiti sadržaj kratke knjige, koja bi zahtijevala osnovno razumijevanje trigonometrije, limesa i serija.

Uvijek sam bio zadivljen ljepotom ove formule. Možda ima još nevjerojatnih činjenica u matematici, ali za moju razinu (C u fizikalno-matematičkom liceju i A u kompleksnoj analizi na sveučilištu) ovo je najvažnije čudo.