Διαφορικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές. Εξισώσεις που επιλύθηκαν για y
Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων.
Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές
Διαφορικές εξισώσεις (ΔΕ). Αυτές οι δύο λέξεις συνήθως τρομοκρατούν τον μέσο άνθρωπο. Οι διαφορικές εξισώσεις φαίνεται να είναι κάτι απαγορευτικό και δύσκολο να κατακτηθούν για πολλούς μαθητές. Uuuuuu... διαφορικές εξισώσεις, πώς να επιβιώσω από όλο αυτό;!
Αυτή η γνώμη και αυτή η στάση είναι θεμελιωδώς εσφαλμένη, γιατί στην πραγματικότητα ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΟ ΚΑΙ ΑΚΟΜΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟ. Τι πρέπει να γνωρίζετε και να είστε σε θέση να κάνετε για να μάθετε πώς να λύνετε διαφορικές εξισώσεις; Για να μελετήσετε επιτυχώς τις διαχύσεις, πρέπει να είστε καλοί στην ενσωμάτωση και τη διαφοροποίηση. Όσο καλύτερα μελετώνται τα θέματα Παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητήςΚαι Αόριστο ολοκλήρωμα, τόσο πιο εύκολο θα είναι να κατανοήσουμε τις διαφορικές εξισώσεις. Θα πω περισσότερα, αν έχετε περισσότερο ή λιγότερο αξιοπρεπείς δεξιότητες ένταξης, τότε το θέμα έχει σχεδόν κατακτηθεί! Όσο περισσότερα ολοκληρώματα διαφόρων τύπων μπορείτε να λύσετε, τόσο το καλύτερο. Γιατί; Θα πρέπει να ενσωματώσετε πολλά. Και διαφοροποιήστε. Επίσης συνιστώ ανεπιφύλακταμάθε να βρίσκεις.
Στο 95% των περιπτώσεων, τα δοκιμαστικά χαρτιά περιέχουν 3 τύπους διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: διαχωρίσιμες εξισώσειςπου θα εξετάσουμε σε αυτό το μάθημα. ομοιογενείς εξισώσειςΚαι γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις. Για όσους αρχίζουν να μελετούν διαχυτήρες, σας συμβουλεύω να διαβάσετε τα μαθήματα με αυτήν ακριβώς τη σειρά και αφού μελετήσετε τα δύο πρώτα άρθρα, δεν θα βλάψετε να εδραιώσετε τις δεξιότητές σας σε ένα επιπλέον εργαστήριο - εξισώσεις που ανάγονται σε ομοιογενείς.
Υπάρχουν ακόμη πιο σπάνιοι τύποι διαφορικών εξισώσεων: ολικές διαφορικές εξισώσεις, εξισώσεις Bernoulli και μερικές άλλες. Οι πιο σημαντικοί από τους δύο τελευταίους τύπους είναι οι εξισώσεις σε ολικές διαφορικές, αφού εκτός από αυτή τη διαφορική εξίσωση εξετάζω και νέο υλικό - μερική ένταξη.
Αν σας απομένουν μόνο μία ή δύο μέρες, Οτι για εξαιρετικά γρήγορη προετοιμασίαΥπάρχει μάθημα blitzσε μορφή pdf.
Λοιπόν, τα ορόσημα έχουν οριστεί - πάμε:
Αρχικά, ας θυμηθούμε τις συνηθισμένες αλγεβρικές εξισώσεις. Περιέχουν μεταβλητές και αριθμούς. Το απλούστερο παράδειγμα: . Τι σημαίνει να λύνεις μια συνηθισμένη εξίσωση; Αυτό σημαίνει εύρεση σύνολο αριθμών, που ικανοποιούν αυτή την εξίσωση. Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι η εξίσωση των παιδιών έχει μία μόνο ρίζα: . Για πλάκα, ας ελέγξουμε και ας αντικαταστήσουμε τη ρίζα που βρέθηκε στην εξίσωσή μας:
– προκύπτει η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η λύση βρέθηκε σωστά.
Οι διαχυτές έχουν σχεδιαστεί σχεδόν με τον ίδιο τρόπο!
Διαφορική εξίσωση πρώτη σειράγενικά περιέχει:
1) ανεξάρτητη μεταβλητή.
2) εξαρτημένη μεταβλητή (συνάρτηση).
3) η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης: .
Σε ορισμένες εξισώσεις 1ης τάξης μπορεί να μην υπάρχουν "x" και/ή "y", αλλά αυτό δεν είναι σημαντικό - σπουδαίοςγια να πάει στο δωμάτιο ελέγχου ήτανπρώτη παράγωγο, και δεν είχαπαράγωγα ανώτερων τάξεων – , κ.λπ.
Τι σημαίνει;Η επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης σημαίνει εύρεση σύνολο όλων των λειτουργιών, που ικανοποιούν αυτή την εξίσωση. Ένα τέτοιο σύνολο συναρτήσεων έχει συχνά τη μορφή (– μια αυθαίρετη σταθερά), η οποία ονομάζεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.
Παράδειγμα 1
Επίλυση διαφορικής εξίσωσης
Πλήρη πυρομαχικά. Από πού να ξεκινήσω λύση?
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να ξαναγράψετε το παράγωγο σε μια ελαφρώς διαφορετική μορφή. Θυμόμαστε τον δυσκίνητο χαρακτηρισμό, που πολλοί από εσάς φάνηκαν μάλλον γελοίος και περιττός. Αυτό ισχύει στους διαχυτές!
Στο δεύτερο βήμα, ας δούμε αν είναι δυνατό ξεχωριστές μεταβλητές;Τι σημαίνει ο διαχωρισμός μεταβλητών; Στο περίπου, στην αριστερή πλευράπρέπει να φύγουμε μόνο "Έλληνες", ΕΝΑ στη δεξιά πλευράοργανώνω μόνο "Χ". Η διαίρεση των μεταβλητών πραγματοποιείται με χειρισμούς "σχολείου": τοποθέτησή τους εκτός παρενθέσεων, μεταφορά όρων από μέρος σε μέρος με αλλαγή πρόσημου, μεταφορά παραγόντων από μέρος σε μέρος σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας κ.λπ.
Διαφορικά και είναι πλήρεις πολλαπλασιαστές και ενεργοί συμμετέχοντες στις εχθροπραξίες. Στο παράδειγμα που εξετάζουμε, οι μεταβλητές διαχωρίζονται εύκολα με την ρίψη των παραγόντων σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας:
Οι μεταβλητές διαχωρίζονται. Στην αριστερή πλευρά υπάρχουν μόνο "Y", στη δεξιά πλευρά - μόνο "X".
Επόμενο στάδιο - ολοκλήρωση διαφορικής εξίσωσης. Είναι απλό, βάζουμε ολοκληρώματα και στις δύο πλευρές:
Φυσικά, πρέπει να πάρουμε ολοκληρώματα. Στην περίπτωση αυτή είναι πίνακες:
Όπως θυμόμαστε, μια σταθερά αποδίδεται σε οποιοδήποτε αντιπαράγωγο. Υπάρχουν δύο ολοκληρώματα εδώ, αλλά αρκεί να γράψουμε τη σταθερά μία φορά (καθώς η σταθερά + σταθερά εξακολουθεί να είναι ίση με μια άλλη σταθερά). Στις περισσότερες περιπτώσεις τοποθετείται στη δεξιά πλευρά.
Αυστηρά μιλώντας, αφού ληφθούν τα ολοκληρώματα, η διαφορική εξίσωση θεωρείται λυμένη. Το μόνο είναι ότι το «y» μας δεν εκφράζεται μέσω του «x», δηλαδή παρουσιάζεται η λύση σε μια άρρητημορφή. Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης σε άρρητη μορφή ονομάζεται γενικό ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης. Δηλαδή, αυτό είναι ένα γενικό ολοκλήρωμα.
Η απάντηση σε αυτή τη μορφή είναι αρκετά αποδεκτή, αλλά υπάρχει καλύτερη επιλογή; Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε κοινή απόφαση.
Σας παρακαλούμε, θυμηθείτε την πρώτη τεχνική, είναι πολύ κοινό και χρησιμοποιείται συχνά σε πρακτικές εργασίες: Εάν ένας λογάριθμος εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά μετά την ολοκλήρωση, τότε σε πολλές περιπτώσεις (αλλά όχι πάντα!) είναι σκόπιμο να γράψετε τη σταθερά και κάτω από τον λογάριθμο. Και είναι βέβαιο ότι θα γράψετε εάν το αποτέλεσμα είναι μόνο λογάριθμοι (όπως στο υπό εξέταση παράδειγμα).
Αυτό είναι, ΑΝΤΙοι καταχωρήσεις γράφονται συνήθως 
.
Γιατί είναι απαραίτητο αυτό; Και για να γίνει πιο εύκολη η έκφραση του «παιχνιδιού». Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των λογαρίθμων 
. Σε αυτήν την περίπτωση:
Τώρα μπορούν να αφαιρεθούν λογάριθμοι και μονάδες:
Η συνάρτηση παρουσιάζεται ρητά. Αυτή είναι η γενική λύση.
Απάντηση: κοινή απόφαση: 
.
Οι απαντήσεις σε πολλές διαφορικές εξισώσεις είναι αρκετά εύκολο να ελεγχθούν. Στην περίπτωσή μας, αυτό γίνεται πολύ απλά, παίρνουμε τη λύση που βρέθηκε και τη διαφοροποιούμε:
Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την παράγωγο στην αρχική εξίσωση:
– προκύπτει η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η γενική λύση ικανοποιεί την εξίσωση, η οποία είναι αυτή που έπρεπε να ελεγχθεί.
Δίνοντας μια σταθερά διαφορετικές τιμές, μπορείτε να πάρετε έναν άπειρο αριθμό ιδιωτικές λύσειςδιαφορική εξίσωση. Είναι σαφές ότι οποιαδήποτε από τις συναρτήσεις , κ.λπ. ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση.
Μερικές φορές η γενική λύση ονομάζεται οικογένεια λειτουργιών. Σε αυτό το παράδειγμα, η γενική λύση 
είναι μια οικογένεια γραμμικών συναρτήσεων, ή ακριβέστερα, μια οικογένεια ευθείας αναλογικότητας.
Μετά από μια ενδελεχή ανασκόπηση του πρώτου παραδείγματος, είναι σκόπιμο να απαντήσουμε σε πολλές αφελείς ερωτήσεις σχετικά με τις διαφορικές εξισώσεις:
1)Σε αυτό το παράδειγμα, μπορέσαμε να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές. Μπορεί αυτό να γίνεται πάντα;Όχι πάντα. Και ακόμη πιο συχνά, οι μεταβλητές δεν μπορούν να διαχωριστούν. Για παράδειγμα, σε ομοιογενείς εξισώσεις πρώτης τάξης, πρέπει πρώτα να το αντικαταστήσετε. Σε άλλους τύπους εξισώσεων, για παράδειγμα, σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση πρώτης τάξης, πρέπει να χρησιμοποιήσετε διάφορες τεχνικές και μεθόδους για να βρείτε μια γενική λύση. Οι εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές, τις οποίες εξετάζουμε στο πρώτο μάθημα, είναι ο απλούστερος τύπος διαφορικών εξισώσεων.
2) Είναι πάντα δυνατό να ενσωματώσουμε μια διαφορική εξίσωση;Όχι πάντα. Είναι πολύ εύκολο να καταλήξουμε σε μια «φανταχτερή» εξίσωση που δεν μπορεί να ενσωματωθεί· επιπλέον, υπάρχουν ολοκληρώματα που δεν μπορούν να ληφθούν. Αλλά τέτοια DE μπορούν να λυθούν κατά προσέγγιση χρησιμοποιώντας ειδικές μεθόδους. Ο D'Alembert και ο Cauchy εγγυώνται... ...ωχ, κρύβομαι. Για να διαβάσω πολύ μόλις τώρα, σχεδόν πρόσθεσα "από τον άλλο κόσμο".
3) Σε αυτό το παράδειγμα, λάβαμε μια λύση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος 
. Είναι πάντα δυνατό να βρεθεί μια γενική λύση από ένα γενικό ολοκλήρωμα, δηλαδή να εκφραστεί ρητά το «υ»;Όχι πάντα. Για παράδειγμα: . Λοιπόν, πώς μπορείς να εκφράσεις «ελληνικά» εδώ;! Σε τέτοιες περιπτώσεις, η απάντηση θα πρέπει να γράφεται ως γενικό ολοκλήρωμα. Επιπλέον, μερικές φορές είναι δυνατό να βρεθεί μια γενική λύση, αλλά είναι γραμμένη τόσο δυσκίνητη και αδέξια που είναι καλύτερο να αφήσουμε την απάντηση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος
4) ...ίσως αρκεί προς το παρόν. Στο πρώτο παράδειγμα που συναντήσαμε άλλο ένα σημαντικό σημείο, αλλά για να μην καλύψω τα «ανδρείκελα» με μια χιονοστιβάδα νέων πληροφοριών, θα το αφήσω μέχρι το επόμενο μάθημα.
Δεν θα βιαστούμε. Άλλο ένα απλό τηλεχειριστήριο και μια άλλη τυπική λύση:
Παράδειγμα 2
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη
Λύση: σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε ιδιωτική λύση DE που ικανοποιεί μια δεδομένη αρχική συνθήκη. Αυτή η διατύπωση της ερώτησης ονομάζεται επίσης Πρόβλημα Cauchy.
Πρώτα βρίσκουμε μια γενική λύση. Δεν υπάρχει μεταβλητή "x" στην εξίσωση, αλλά αυτό δεν πρέπει να προκαλεί σύγχυση, το κύριο πράγμα είναι ότι έχει την πρώτη παράγωγο.
Ξαναγράφουμε την παράγωγο στην απαιτούμενη μορφή:
Προφανώς, οι μεταβλητές μπορούν να διαχωριστούν, τα αγόρια στα αριστερά, τα κορίτσια στα δεξιά:
Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση: 
Λαμβάνεται το γενικό ολοκλήρωμα. Εδώ έχω σχεδιάσει μια σταθερά με έναν αστερίσκο, γεγονός είναι ότι πολύ σύντομα θα μετατραπεί σε μια άλλη σταθερά.
Τώρα προσπαθούμε να μετατρέψουμε το γενικό ολοκλήρωμα σε μια γενική λύση (εκφράστε το "y" ρητά). Ας θυμηθούμε τα παλιά καλά πράγματα από το σχολείο: 
. Σε αυτήν την περίπτωση:
Η σταθερά στον δείκτη φαίνεται κατά κάποιον τρόπο μη ευνοϊκή, επομένως συνήθως προσγειώνεται. Αναλυτικά, έτσι γίνεται. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των βαθμών, ξαναγράφουμε τη συνάρτηση ως εξής:
Αν είναι σταθερά, τότε είναι και κάποια σταθερά, ας την επαναπροσδιορίσουμε με το γράμμα:
– σε αυτήν την περίπτωση, αφαιρούμε τη μονάδα, μετά την οποία η σταθερά "ce" μπορεί να λάβει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές
Θυμηθείτε ότι η «κατεδάφιση» μιας σταθεράς είναι δεύτερη τεχνική, που χρησιμοποιείται συχνά κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Στην καθαρή έκδοση μπορείτε να μεταβείτε αμέσως να, αλλά να είστε πάντα έτοιμοι να εξηγήσετε αυτή τη μετάβαση.
Άρα, η γενική λύση είναι: . Αυτή είναι μια ωραία οικογένεια εκθετικών συναρτήσεων.
Στο τελικό στάδιο, πρέπει να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τη δεδομένη αρχική συνθήκη. Αυτό είναι επίσης απλό.
Ποιο είναι το καθήκον; Ανάγκη παραλαβής τέτοιοςτην τιμή της σταθεράς ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη.
Μπορεί να διαμορφωθεί με διαφορετικούς τρόπους, αλλά αυτός θα είναι πιθανώς ο πιο σαφής τρόπος. Στη γενική λύση, αντί για το «Χ» αντικαθιστούμε ένα μηδέν και αντί για το «Υ» αντικαθιστούμε ένα δύο:
Αυτό είναι,
Τυπική έκδοση σχεδίασης:
Τώρα αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή της σταθεράς στη γενική λύση:
– αυτή είναι η συγκεκριμένη λύση που χρειαζόμαστε.
Απάντηση: ιδιωτική λύση:
Ας ελέγξουμε. Ο έλεγχος μιας ιδιωτικής λύσης περιλαμβάνει δύο στάδια:
Πρώτα πρέπει να ελέγξετε εάν η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί πραγματικά την αρχική συνθήκη; Αντί για το «Χ» αντικαθιστούμε ένα μηδέν και βλέπουμε τι συμβαίνει:
- ναι, όντως, λήφθηκε δύο, που σημαίνει ότι πληρούται η αρχική προϋπόθεση.
Το δεύτερο στάδιο είναι ήδη γνωστό. Παίρνουμε τη συγκεκριμένη λύση που προκύπτει και βρίσκουμε την παράγωγο:
Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση:
– επιτυγχάνεται η σωστή ισότητα.
Συμπέρασμα: η συγκεκριμένη λύση βρέθηκε σωστά.
Ας προχωρήσουμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 3
Επίλυση διαφορικής εξίσωσης
Λύση:Ξαναγράφουμε την παράγωγο με τη μορφή που χρειαζόμαστε: 
Αξιολογούμε αν είναι δυνατός ο διαχωρισμός των μεταβλητών; Μπορώ. Μετακινούμε τον δεύτερο όρο στη δεξιά πλευρά με αλλαγή πρόσημου: 
Και μεταφέρουμε τους πολλαπλασιαστές σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας: 
Οι μεταβλητές είναι διαχωρισμένες, ας ενσωματώσουμε και τα δύο μέρη: 
Πρέπει να σας προειδοποιήσω, η ημέρα της κρίσης πλησιάζει. Αν δεν έχεις σπουδάσει καλά αόριστα ολοκληρώματα, έχουν λύσει λίγα παραδείγματα, τότε δεν υπάρχει πού να πάτε - θα πρέπει να τα κατακτήσετε τώρα.
Το ολοκλήρωμα της αριστερής πλευράς είναι εύκολο να βρεθεί· ασχολούμαστε με το ολοκλήρωμα της συνεφαπτομένης χρησιμοποιώντας την τυπική τεχνική που εξετάσαμε στο μάθημα Ενσωμάτωση τριγωνομετρικών συναρτήσεωνπέρυσι: 
Ως αποτέλεσμα, πήραμε μόνο λογάριθμους και, σύμφωνα με την πρώτη μου τεχνική σύσταση, ορίζουμε επίσης τη σταθερά ως λογάριθμο.
Τώρα προσπαθούμε να απλοποιήσουμε το γενικό ολοκλήρωμα. Εφόσον έχουμε μόνο λογάριθμους, είναι πολύ πιθανό (και απαραίτητο) να απαλλαγούμε από αυτούς. Με τη χρήση γνωστές ιδιότητες«Συσκευάζουμε» τους λογάριθμους όσο το δυνατόν περισσότερο. Θα το γράψω με μεγάλη λεπτομέρεια: 
Η συσκευασία έχει τελειώσει για να είναι βάρβαρα κουρελιασμένη: 
, και αμέσως παρουσιάζουμε γενικό ολοκλήρωμαΠαρεμπιπτόντως, όσο αυτό είναι δυνατό: 
Σε γενικές γραμμές, δεν είναι απαραίτητο να το κάνετε αυτό, αλλά είναι πάντα ωφέλιμο να ευχαριστήσετε τον καθηγητή ;-)
Κατ 'αρχήν, αυτό το αριστούργημα μπορεί να γραφτεί ως απάντηση, αλλά εδώ είναι ακόμα κατάλληλο να τετραγωνιστούν και τα δύο μέρη και να επαναπροσδιοριστεί η σταθερά:
Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα:
! Σημείωση: Το γενικό ολοκλήρωμα μπορεί συχνά να γραφτεί με περισσότερους από έναν τρόπους. Έτσι, εάν το αποτέλεσμά σας δεν συμπίπτει με την προηγούμενη γνωστή απάντηση, αυτό δεν σημαίνει ότι λύσατε λάθος την εξίσωση.
Είναι δυνατόν να εκφραστεί το «παιχνίδι»; Μπορώ. Ας εκφράσουμε τη γενική λύση:
Φυσικά, το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι κατάλληλο για απάντηση, αλλά σημειώστε ότι το γενικό ολοκλήρωμα φαίνεται πιο συμπαγές και η λύση είναι πιο σύντομη.
Τρίτη τεχνική συμβουλή:εάν για να λάβετε μια γενική λύση πρέπει να εκτελέσετε έναν σημαντικό αριθμό ενεργειών, τότε στις περισσότερες περιπτώσεις είναι καλύτερο να αποφύγετε αυτές τις ενέργειες και να αφήσετε την απάντηση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος. Το ίδιο ισχύει για τις «κακές» ενέργειες, όταν χρειάζεται να εκφράσετε την αντίστροφη συνάρτηση, να αυξήσετε σε δύναμη, να εξαγάγετε τη ρίζα κ.λπ.Το γεγονός είναι ότι η γενική λύση θα φαίνεται επιτηδευμένη και δυσκίνητη - με μεγάλες ρίζες, σημάδια και άλλα μαθηματικά σκουπίδια.
Πώς να ελέγξετε; Ο έλεγχος μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Μέθοδος 1: πάρτε τη γενική λύση 
, βρίσκουμε την παράγωγο 
και αντικαταστήστε τα στην αρχική εξίσωση. Δοκιμάστε το μόνοι σας!
Ο δεύτερος τρόπος είναι να διαφοροποιήσουμε το γενικό ολοκλήρωμα. Είναι αρκετά εύκολο, το κύριο πράγμα είναι να μπορείς να βρεις παράγωγο μιας συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά:
διαιρέστε κάθε όρο με:
και σε: 
Η αρχική διαφορική εξίσωση έχει ληφθεί ακριβώς, πράγμα που σημαίνει ότι το γενικό ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.
Παράδειγμα 4
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη. Εκτελέστε έλεγχο.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.
Να σας υπενθυμίσω ότι ο αλγόριθμος αποτελείται από δύο στάδια:
1) εξεύρεση γενικής λύσης.
2) εύρεση της απαιτούμενης συγκεκριμένης λύσης.
Ο έλεγχος πραγματοποιείται επίσης σε δύο βήματα (βλ. παράδειγμα στο Παράδειγμα Νο. 2), πρέπει να:
1) βεβαιωθείτε ότι η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.
2) ελέγξτε ότι μια συγκεκριμένη λύση ικανοποιεί γενικά τη διαφορική εξίσωση.
Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Παράδειγμα 5
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση σε μια διαφορική εξίσωση 
, ικανοποιώντας την αρχική συνθήκη. Εκτελέστε έλεγχο.
Λύση:Αρχικά, ας βρούμε μια γενική λύση: Αυτή η εξίσωση περιέχει ήδη έτοιμα διαφορικά και, επομένως, η λύση είναι απλοποιημένη. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές: 
Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση: 
Το ολοκλήρωμα στα αριστερά είναι πίνακα, το ολοκλήρωμα στα δεξιά λαμβάνεται μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο:
Το γενικό ολοκλήρωμα έχει ληφθεί· είναι δυνατόν να εκφραστεί με επιτυχία η γενική λύση; Μπορώ. Κρεμάμε λογάριθμους και από τις δύο πλευρές. Δεδομένου ότι είναι θετικά, τα σημάδια συντελεστή είναι περιττά: 
(Ελπίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν τη μεταμόρφωση, τέτοια πράγματα πρέπει να είναι ήδη γνωστά)
Λοιπόν, η γενική λύση είναι:
Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη.
Στη γενική λύση, αντί για «Χ» αντικαθιστούμε το μηδέν και αντί για «Υ» αντικαθιστούμε τον λογάριθμο δύο: 
Πιο γνωστό σχέδιο:
Αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή της σταθεράς με τη γενική λύση.
Απάντηση:ιδιωτική λύση:
Έλεγχος: Αρχικά, ας ελέγξουμε αν πληρούται η αρχική προϋπόθεση:
- όλα είναι καλά.
Τώρα ας ελέγξουμε αν η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί καθόλου τη διαφορική εξίσωση. Εύρεση της παραγώγου:
Ας δούμε την αρχική εξίσωση: 
– παρουσιάζεται σε διαφορικά. Υπάρχουν δύο τρόποι ελέγχου. Είναι δυνατό να εκφραστεί η διαφορά από την ευρεθείσα παράγωγο:
Ας αντικαταστήσουμε τη συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε και τη διαφορά που προκύπτει στην αρχική εξίσωση 
: 
Χρησιμοποιούμε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα: 
Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η συγκεκριμένη λύση βρέθηκε σωστά.
Η δεύτερη μέθοδος ελέγχου είναι αντικατοπτρισμένη και πιο οικεία: από την εξίσωση 
Ας εκφράσουμε την παράγωγο, για να το κάνουμε αυτό χωρίζουμε όλα τα κομμάτια με: 
Και στη μετασχηματισμένη ΔΕ αντικαθιστούμε τη μερική λύση που προκύπτει και την ευρεθείσα παράγωγο. Ως αποτέλεσμα των απλοποιήσεων, θα πρέπει επίσης να επιτευχθεί η σωστή ισότητα.
Παράδειγμα 6
Βρείτε το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης, παρουσιάστε την απάντηση στη φόρμα.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας, ολοκληρωμένη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Ποιες δυσκολίες περιμένουν κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων με διαχωρίσιμες μεταβλητές;
1) Δεν είναι πάντα προφανές (ειδικά σε μια «τσαγιέρα») ότι οι μεταβλητές μπορούν να διαχωριστούν. Ας εξετάσουμε ένα υπό όρους παράδειγμα: . Εδώ πρέπει να βγάλετε τους παράγοντες από αγκύλες: και να διαχωρίσετε τις ρίζες: . Είναι ξεκάθαρο τι πρέπει να κάνουμε στη συνέχεια.
2) Δυσκολίες με την ίδια την ένταξη. Τα ολοκληρώματα συχνά δεν είναι τα πιο απλά, και αν υπάρχουν ελαττώματα στις δεξιότητες εύρεσης αόριστο ολοκλήρωμα, τότε θα είναι δύσκολο με πολλούς διαχυτές. Επιπλέον, η λογική "αφού η διαφορική εξίσωση είναι απλή, τουλάχιστον ας είναι πιο περίπλοκα τα ολοκληρώματα" είναι δημοφιλής μεταξύ των μεταγλωττιστών συλλογών και εγχειριδίων εκπαίδευσης.
3) Μετασχηματισμοί με σταθερά. Όπως όλοι έχουν παρατηρήσει, η σταθερά στις διαφορικές εξισώσεις μπορεί να αντιμετωπιστεί αρκετά ελεύθερα και ορισμένοι μετασχηματισμοί δεν είναι πάντα ξεκάθαροι σε έναν αρχάριο. Ας δούμε ένα άλλο υπό όρους παράδειγμα: 
. Συνιστάται να πολλαπλασιάσετε όλους τους όρους επί 2: 
. Η σταθερά που προκύπτει είναι επίσης κάποιο είδος σταθεράς, η οποία μπορεί να συμβολιστεί με: 
. Ναι, και επειδή έχουμε μόνο λογάριους, καλό είναι να ξαναγράψουμε τη σταθερά με τη μορφή μιας άλλης σταθεράς: 
.
Το πρόβλημα είναι ότι συχνά δεν ασχολούνται με ευρετήρια και χρησιμοποιούν το ίδιο γράμμα. Ως αποτέλεσμα, το αρχείο απόφασης παίρνει την ακόλουθη μορφή: 
Τι στο καλό?! Υπάρχουν λάθη εκεί! Αυστηρά μιλώντας, ναι. Ωστόσο, από ουσιαστική άποψη, δεν υπάρχουν σφάλματα, διότι ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού μιας μεταβλητής σταθεράς προκύπτει μια ισοδύναμη μεταβλητή σταθερά.
Ή ένα άλλο παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι κατά την επίλυση της εξίσωσης προκύπτει ένα γενικό ολοκλήρωμα. Αυτή η απάντηση φαίνεται άσχημη, επομένως είναι σκόπιμο να αλλάξετε το πρόσημο κάθε όρου: 
. Τυπικά, υπάρχει ένα άλλο λάθος εδώ - θα πρέπει να γραφτεί στα δεξιά. Αλλά ανεπίσημα γίνεται κατανοητό ότι το "μείον ce" εξακολουθεί να είναι μια σταθερά, η οποία εξίσου καλά παίρνει το ίδιο σύνολο τιμών, και επομένως δεν έχει νόημα να βάλουμε "μείον".
Θα προσπαθήσω να αποφύγω μια απρόσεκτη προσέγγιση και θα εξακολουθήσω να αντιστοιχίζω διαφορετικούς δείκτες σε σταθερές κατά τη μετατροπή τους. Αυτό που σας συμβουλεύω να κάνετε.
Παράδειγμα 7
Επίλυση διαφορικής εξίσωσης. Εκτελέστε έλεγχο.
Λύση:Αυτή η εξίσωση επιτρέπει τον διαχωρισμό των μεταβλητών. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές: 
Ας ενσωματώσουμε: 
Δεν είναι απαραίτητο να ορίσουμε τη σταθερά εδώ ως λογάριθμο, αφού τίποτα χρήσιμο δεν θα προκύψει από αυτό.
Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα:
Και, φυσικά, δεν χρειάζεται να εκφράσετε ρητά το "y" εδώ, γιατί θα αποδειχθεί ότι είναι σκουπίδια (θυμηθείτε την τρίτη τεχνική συμβουλή).
Εξέταση: Διαφοροποιήστε την απάντηση (σιωπηρή συνάρτηση): 
Απαλλαγούμε από τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας και τους δύο όρους με: 
Έχει ληφθεί η αρχική διαφορική εξίσωση, που σημαίνει ότι το γενικό ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.
Παράδειγμα 8
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση της ΔΕ.
,
Διαφορική εξίσωσηείναι μια σχέση που μοιάζει F(x 1 ,x 2 ,x 3 ,..,y,y′,y′′,...y (n)) = 0, και το οποίο συσχετίζει τις ανεξάρτητες μεταβλητές x 1, x 2, x 3,...συνάρτηση y αυτών των ανεξάρτητων μεταβλητών και των παραγώγων της μέχρι n-η σειρά. Επιπλέον, η λειτουργία φάορίζεται και διαφοροποιείται αρκετές φορές σε ένα ορισμένο εύρος αλλαγών στα ορίσματα του.
Συνήθεις διαφορικές εξισώσειςείναι διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή.
Μερικές διαφορικές εξισώσεις- πρόκειται για διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν 2 ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές.
Μια διαφορική εξίσωση 1ης τάξης στη γενική περίπτωση περιέχει:
1) ανεξάρτητη μεταβλητή Χ;
2) εξαρτημένη μεταβλητή y(λειτουργία);
3) η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης: y’ .
Σε ορισμένες εξισώσεις πρώτης τάξης μπορεί να μην υπάρχει Χή/και y, αλλά αυτό δεν είναι ουσιαστικό - είναι σημαντικό οι διαφορικές εξισώσεις να έχουν την 1η παράγωγο y’ , και δεν υπήρχαν παράγωγα υψηλότερης τάξης - y’’ , y’’’ και ούτω καθεξής.
Διαφορική εξίσωση- μια εξίσωση που συνδέει την τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης με την ίδια τη συνάρτηση, τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής και τους αριθμούς (παραμέτρους). Η σειρά των παραγώγων που περιλαμβάνονται στην εξίσωση μπορεί να είναι διαφορετική (τυπικά δεν περιορίζεται). Οι παράγωγοι, οι συναρτήσεις, οι ανεξάρτητες μεταβλητές και οι παράμετροι μπορούν να συμπεριληφθούν στην εξίσωση σε διάφορους συνδυασμούς ή μπορεί να απουσιάζει εντελώς η 1η παράγωγος εκτός από την πρώτη. Δεν αποδεικνύεται ότι είναι διαφορική εξίσωση κάθε εξίσωση που περιέχει παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης. Για παράδειγμα, δεν είναι διαφορική εξίσωση.
Μια διαφορική εξίσωση τάξης μεγαλύτερης της 1ης μπορεί να μετατραπεί σε ένα σύστημα εξισώσεων 1ης τάξης στο οποίο ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τη σειρά της αρχικής εξίσωσης.
Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων.
Σειρά διαφορικής εξίσωσηςείναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται σε αυτήν.
Βαθμός διαφορικής εξίσωσηςείναι ο εκθέτης στον οποίο αυξάνεται η παράγωγος υψηλότερης τάξης.
Για παράδειγμα, 1η τάξη 2ου βαθμού εξίσωση:
Για παράδειγμα, εξίσωση 4ης τάξης 1ου βαθμού:
Μερικές φορές οι διαφορικές εξισώσεις γράφονται ως (περιλαμβάνει διαφορικά):
(Χ 2
- 3
xy 2
)
dx + (xy 2
- 3
Χ 2
y)
dy = 0;
Σε αυτή την περίπτωση, οι μεταβλητές ΧΚαι yπρέπει να θεωρείται ίσο. Εάν είναι απαραίτητο, μια τέτοια εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε μια μορφή που περιέχει ρητά την παράγωγο y". Διαιρέστε με dx:
Αφού και , σημαίνει ότι η εξίσωση παίρνει μια μορφή που περιέχει μια παράγωγο 1ης τάξης.
Ορισμός.Εξίσωση της φόρμας
, λέγονται η άγνωστη συνάρτηση και οι παράγωγοί της διαφορική εξίσωση n-η σειρά.
Ορισμός.Εξίσωση της φόρμας
συνδέοντας την ανεξάρτητη μεταβλητή , μια άγνωστη συνάρτηση και η παράγωγός της ονομάζεται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.
Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται σε αυτήν την εξίσωση.
Ορισμός. Γενική λύσηΗ διαφορική εξίσωση (2) στον τομέα ονομάζεται συνάρτηση , Οπου Με– μια αυθαίρετη σταθερά που ικανοποιεί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) για κάθε αριθμό Μεη συνάρτηση είναι λύση της εξίσωσης (2).
2) αν , τότε υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε η λύση να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη .
Εάν η γενική λύση ληφθεί σε σιωπηρή μορφή , τότε ονομάζεται γενικό ολοκλήρωμα, και – μερικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (8).
Εάν η διαφορική εξίσωση (8) μπορεί να επιλυθεί σε σχέση με , τότε θα πάρει τη μορφή:
Η διαφορική εξίσωση (9) ονομάζεται επιλυθεί σε σχέση με το παράγωγο.
Η εξίσωση (9) μερικές φορές γράφεται ως:
Οπου – συναρτήσεις δύο μεταβλητών.
Θεώρημα Cauchy. (Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης της διαφορικής εξίσωσης (9)).Αν στην εξίσωση (9) η συνάρτηση και η μερική της παράγωγος σε σχέση με είναι καθορισμένες και συνεχείς στην περιοχή του επιπέδου ( XOY) και είναι ένα αυθαίρετο σημείο από το , τότε υπάρχει μια μοναδική λύση σε αυτήν την εξίσωση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη .
Το πρόβλημα της εύρεσης λύσης στην εξίσωση (9) με μια δεδομένη αρχική συνθήκη ονομάζεται Πρόβλημα Cauchy.
Ορισμός. Ιδιωτική απόφασηΗ διαφορική εξίσωση (9) καλεί οποιαδήποτε συνάρτηση , που προκύπτει από τη γενική λύση εάν σε μια αυθαίρετη σταθερά δοθεί μια ορισμένη τιμή.
Ορισμός.Μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές, εάν μπορεί να γραφτεί στη φόρμα
ή , (12)
Οπου – καθορισμένες λειτουργίες.
Για να λύσουμε την εξίσωση (11), διαιρούμε τις μεταβλητές:
Ή διαιρέστε και τις δύο πλευρές (12) με :
που
Ορισμός.Η εξίσωση ή (13) ονομάζεται εξίσωση με διαχωρισμένες μεταβλητές.
Ορισμός.Η συνάρτηση καλείται ομοιογενήςσυνάρτηση μηδενικής διάστασης, αν εξαρτάται μόνο από τον λόγο, δηλ. .
Ορισμός.Μια ομοιογενής διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής (14)
Ας εισάγουμε μια νέα άγνωστη συνάρτηση βάζοντας , ή . Διαφοροποιώντας, παίρνουμε .
Ας αντικαταστήσουμε την εξίσωση (14), τη μετατρέψουμε στη μορφή . Διαχωρίζοντας τις μεταβλητές και ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε
Από εδώ.
Αφού εκτελέσετε την ενσωμάτωση, πρέπει να επιστρέψετε στη συνάρτηση βάζοντας .
Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση.
Εκφράζοντας την παράγωγο, παίρνουμε ή .
Ας το βάλουμε. Επειτα , . Αντικαθιστώντας στην εξίσωση, παίρνουμε . Οπου .
Ας διαχωρίσουμε τις μεταβλητές.
Μετά την ενσωμάτωση βρίσκουμε
ή .
Τελικά.
Ορισμός.Μια γραμμική διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής
Ας εισάγουμε δύο νέες άγνωστες συναρτήσεις και , βάζοντας . Εφόσον υπάρχουν τώρα δύο άγνωστες συναρτήσεις και υπάρχει μόνο μία προϋπόθεση για αυτές τις συναρτήσεις (το γινόμενο τους πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση (15)), μπορούμε αυθαίρετα να επιβάλουμε μια άλλη συνθήκη σε αυτές τις συναρτήσεις, την οποία θα χρησιμοποιήσουμε παρακάτω.
Ας αντικαταστήσουμε στο (15),
παίρνουμε
ή (16)
Ως συνάρτηση, επιλέγουμε οποιαδήποτε συνάρτηση ικανοποιεί τη συνθήκη. (17)
Λαμβάνουμε μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές για να βρούμε . Ας ενσωματώσουμε αυτήν την εξίσωση, θέτοντας τη σταθερά ολοκλήρωσης ίση με το μηδέν (το τελευταίο είναι νόμιμο, αφού είμαστε ικανοποιημένοι με οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (17)):
Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκε στην εξίσωση (16):
Ενσωματώνοντας, βρίσκουμε τη συνάρτηση: . Πολλαπλασιάζοντας τις συναρτήσεις που βρέθηκαν και , παίρνουμε μια γενική λύση της εξίσωσης (15).
Ορισμός.Η εξίσωση του Bernoulli είναι μια εξίσωση της μορφής
Οπου Μ– οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό. Αυτή η εξίσωση λύνεται χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική με μια γραμμική εξίσωση.
Ορισμός.Η εξίσωση
ονομάζεται ολική διαφορική εξίσωση αν η αριστερή της πλευρά είναι το ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση (18) μπορεί να ξαναγραφτεί ως . Το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (18) θα είναι
Θεώρημα.Αφήστε τις συναρτήσεις να έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους σε κάποιο τομέα ( ρε) αεροπλάνο ( XOY). Για να είναι μια έκφραση ένα πλήρες διαφορικό κάποιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο και αρκετό σε όλα τα σημεία της περιοχής ( ρε) ισχύει η ισότητα
Έστω η εξίσωση (18) για την οποία η συνθήκη (20) ικανοποιείται. Το τελευταίο σημαίνει ότι υπάρχει μια συνάρτηση τέτοια που
Για την επίλυση της εξίσωσης (18), είναι απαραίτητο, με βάση τις ισότητες (21), να βρεθεί η συνάρτηση και να γραφεί το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (18) στη μορφή (19).
Παράδειγμα. Βρείτε μια λύση στην εξίσωση που να ικανοποιεί τη συνθήκη.
Εχουμε: , .
Ας βρούμε και:
Έτσι, δηλ. υπάρχει μια λειτουργία τέτοια που
Για να βρούμε, ενσωματώνουμε πάνω Χη πρώτη από τις ισότητες (22):
Εδώ η άγνωστη συνάρτηση παίζει το ρόλο της σταθεράς ολοκλήρωσης. Για να βρούμε, διαφοροποιούμε (23) σε σχέση με y:
Από την άλλη πλευρά, από το (22) έχουμε Από αυτές τις δύο ισότητες παίρνουμε ή .
Από εδώ. (24)
Αντικαθιστώντας το (24), λαμβάνουμε, σύμφωνα με το (19), το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της εξίσωσης με τη μορφή .
Σχόλιο.Εφόσον, σύμφωνα με το (19), η συνάρτηση εξισώνεται με μια αυθαίρετη σταθερά, τότε κατά την εκτέλεση της ολοκλήρωσης (24), η σταθερά ολοκλήρωσης δεν χρειάζεται να γραφεί.
Τότε ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε σε ένα πιο σύνθετο θέμα, δηλαδή τη λύση των διαφορικών εξισώσεων (ΔΕ, στην κοινή γλώσσα, diffurs). Δεν είναι όμως όλα τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται με την πρώτη ματιά.
Διαφορική εξίσωση: τι είναι;
Μια διαφορική εξίσωση (DE) είναι μια εξίσωση που, μαζί με την ίδια τη συνάρτηση (και τα ορίσματά της), περιέχει επίσης την παράγωγό της ή πολλές παραγώγους.
Διαφορική εξίσωση: τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε;
Το πρώτο (και πιο σημαντικό) πράγμα που θα χρειαστείτε είναι η δυνατότητα να προσδιορίσετε σωστά τον τύπο της διαφορικής εξίσωσης. Δεύτερον, αλλά όχι λιγότερο σημαντικό, είναι η ικανότητα της καλής ενσωμάτωσης και διαφοροποίησης.
Δεν είναι μυστικό ότι οι διαφορικές εξισώσεις υπάρχουν σε διαφορετικούς τύπους. Αλλά... πρώτα, ας σημειώσουμε ότι τα τηλεχειριστήρια έχουν διαφορετική σειρά. Η σειρά της διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται στη διαφορική εξίσωση. Η ταξινόμηση των συστημάτων ελέγχου σύμφωνα με τη σειρά της εξίσωσης φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
| Σειρά εξίσωσης | Τύπος εξίσωσης | Παράδειγμα |
|---|---|---|
| Εγώ |  |
|
| II |  |
|
| … | … | … |
| n |  |
Τις περισσότερες φορές έχουμε να αντιμετωπίσουμε συστήματα ελέγχου πρώτης και δεύτερης τάξης, λιγότερο συχνά της τρίτης. Στο 99% των περιπτώσεων, τα προβλήματα περιέχουν τρεις τύπους διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές, ομοιογενείς εξισώσεις και γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις. Μερικές φορές υπάρχουν και σπανιότεροι τύποι διαφορικών εξισώσεων: εξισώσεις σε ολικά διαφορικά, εξισώσεις Bernoulli, κ.λπ. Μεταξύ των διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, συχνά υπάρχουν εξισώσεις που οδηγούν σε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, γραμμικές ομοιογενείς και ανομοιογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.
Διαφορική εξίσωση: λύση - τι σημαίνει και πώς να τη βρείτε;
Όταν λύνουμε μια ΔΕ, μας ζητείται να βρούμε είτε μια γενική λύση (γενικό ολοκλήρωμα) είτε μια συγκεκριμένη λύση. Κοινή απόφαση y = f(x, C)εξαρτάται από κάποια σταθερά ( ΜΕ— const), και η συγκεκριμένη λύση δεν εξαρτάται από: y = f(x, C 0).
Βρείτε μια συνάρτηση f που βασίζεται σε κάποια δεδομένη εξάρτηση, η οποία περιλαμβάνει την ίδια τη συνάρτηση με ορίσματα και τα παράγωγά της. Αυτό το είδος προβλήματος είναι σχετικό στη φυσική, τη χημεία, τα οικονομικά, την τεχνολογία και άλλους τομείς της επιστήμης. Τέτοιες εξαρτήσεις ονομάζονται διαφορικές εξισώσεις. Για παράδειγμα, το y" - 2xy = 2 είναι μια διαφορική εξίσωση 1ης τάξης. Ας δούμε πώς λύνονται αυτοί οι τύποι εξισώσεων.
Τι είναι αυτό?
Μια εξίσωση που μοιάζει με αυτό:
- f(y, y", ..., y(10), y(11), ..., y(k), x) = 0,
ονομάζεται συνηθισμένο difur και χαρακτηρίζεται ως εξίσωση τάξης k, και εξαρτάται από το x και τις παραγώγους y", y"", ... - μέχρι το kth.
ποικιλίες
Στην περίπτωση που η συνάρτηση που βρίσκεται σε μια διαφορική εξίσωση εξαρτάται μόνο από ένα όρισμα, ο τύπος της διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται συνηθισμένος. Με άλλα λόγια, στην εξίσωση η συνάρτηση f και όλες οι παράγωγοί της εξαρτώνται μόνο από το όρισμα x.
Όταν η επιθυμητή συνάρτηση εξαρτάται από πολλά διαφορετικά ορίσματα, οι εξισώσεις ονομάζονται μερικές διαφορικές εξισώσεις. Σε γενικές γραμμές μοιάζουν με:
- f(x, fx", ..., y, fy"..., z, ..., fz"", ...),
όπου η έκφραση fx" είναι η παράγωγος της συνάρτησης ως προς το όρισμα x και η fz"" είναι η διπλή παράγωγος της συνάρτησης ως προς το όρισμα z κ.λπ.
Λύση
Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς τι ακριβώς θεωρείται λύση στο διαφορικό. εξισώσεις Αυτή η συνάρτηση, η αντικατάσταση της οποίας στην εξίσωση δίνει το ίδιο αποτέλεσμα και στις δύο πλευρές του ίσου, ονομάζεται λύση. Για παράδειγμα, η εξίσωση t""+a2t = 0 έχει μια λύση με τη μορφή t = 3Cos(ax) - Sin(ax):
Απλοποιώντας την εξίσωση 3, διαπιστώνουμε ότι t""+a2t = 0 για όλες τις τιμές του ορίσματος x. Ωστόσο, αξίζει να κάνετε κράτηση αμέσως. Η εξίσωση t = 3Cos(ax) - Sin(ax) δεν είναι η μόνη λύση, αλλά μόνο μία από ένα άπειρο σύνολο, η οποία περιγράφεται από τον τύπο mCos(ax) + nSin(ax), όπου m και n είναι αυθαίρετοι αριθμοί .
Ο λόγος για αυτή τη σχέση είναι ο ορισμός μιας αντιπαράγωγης συνάρτησης στον ολοκληρωτικό λογισμό: αν το Q είναι αντιπαράγωγο (ακριβέστερα, ένα από τα πολλά) για μια συνάρτηση q, τότε ∫q(x) dx = Q(x) + C, όπου Το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά που τίθεται στο μηδέν σε αντίστροφη λειτουργία - λαμβάνοντας την παράγωγο της συνάρτησης Q"(x).
Ας παραλείψουμε τον ορισμό του τι είναι λύση σε μια εξίσωση kth τάξης. Δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι όσο υψηλότερη είναι η τάξη της παραγώγου, τόσο περισσότερες σταθερές εμφανίζονται κατά τη διαδικασία ολοκλήρωσης. Θα πρέπει επίσης να διευκρινιστεί ότι ο ορισμός που περιγράφηκε παραπάνω για τη λύση δεν είναι πλήρης. Αλλά για τους μαθηματικούς του 17ου αιώνα ήταν αρκετό.
Παρακάτω θα εξετάσουμε μόνο τους κύριους τύπους διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Το πιο βασικό και απλό. Εκτός από αυτά, υπάρχουν και άλλα διαφορικά. εξισώσεις: ομοιογενής, σε ολικά διαφορικά και Bernoulli. Αλλά η επίλυση όλων αυτών περιλαμβάνει συχνά τη μέθοδο των διαχωρισμένων μεταβλητών, η οποία θα συζητηθεί παρακάτω.
Διαχωρισμός μεταβλητών ως λύση
F = 0 - αντιπροσωπεύει το διαφορικό. εξίσωση τάξης 1. Κατά την επίλυση αυτού του τύπου διαφορικών εξισώσεων, ανάγονται εύκολα στη μορφή y" = f. Έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση ey" - 1 - xy = 0 ανάγεται στη μορφή y" = ln( 1 + xy).Η πράξη αναγωγής μιας διαφορικής εξίσωσης σε παρόμοια μορφή ονομάζεται ανάλυσή της ως προς την παράγωγο y».
Αφού λύσετε την εξίσωση, πρέπει να τη φέρετε σε διαφορική μορφή. Αυτό γίνεται πολλαπλασιάζοντας όλες τις πλευρές της εξίσωσης με dx. Από y" = f παίρνουμε y"dx = fdx. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι y"dx = dy, λαμβάνουμε μια εξίσωση με τη μορφή:
- dy = f dx - που ονομάζεται διαφορική μορφή.
Προφανώς, η y" = f(x) είναι η απλούστερη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Η επίλυσή της επιτυγχάνεται με απλή ολοκλήρωση. Μια πιο σύνθετη μορφή είναι q(y)*y" = p(x), στην οποία q(y) είναι η συνάρτηση που εξαρτάται από το y και η p(x) είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από το x. Φέρνοντάς το σε διαφορική μορφή, παίρνουμε:
- q(y)dy = p(x)dx
Είναι εύκολο να καταλάβουμε γιατί η εξίσωση ονομάζεται split: η αριστερή πλευρά περιέχει μόνο τη μεταβλητή y και η δεξιά πλευρά περιέχει μόνο το x. Μια τέτοια εξίσωση λύνεται χρησιμοποιώντας το ακόλουθο θεώρημα: εάν μια συνάρτηση p έχει αντιπαράγωγο P και q έχει αντιπαράγωγο Q, τότε το διτετράγωνο ολοκλήρωμα θα είναι Q(y) = P(x) + C.
Ας λύσουμε την εξίσωση z"(x)ctg(z) = 1/x. Αναγωγή αυτής της εξίσωσης σε διαφορική μορφή: ctg(z)dz = dx/x και λαμβάνοντας το ολοκλήρωμα και των δύο πλευρών ∫ctg(z)dz = ∫dx/x , παίρνουμε μια λύση σε γενική μορφή: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Για λόγους ομορφιάς, αυτή η εξίσωση σύμφωνα με τους κανόνες των λογαρίθμων μπορεί να γραφτεί με διαφορετική μορφή, αν βάλουμε C = ln W - λαμβάνουμε W|sin(z) | = |x| ή, ακόμη πιο απλό, WSin(z) = x.
Εξισώσεις της μορφής dy/dx = q(y)p(x)
Ο διαχωρισμός μεταβλητών μπορεί να εφαρμοστεί σε εξισώσεις της μορφής y" = q(y)p(x). Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη μόνο η περίπτωση που το q(y) σε κάποιο αριθμό α εξαφανίζεται. Δηλαδή, q(a ) = 0. Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση y = a θα είναι λύση, αφού για αυτήν y" = 0, επομένως, το q(a)p(x) είναι επίσης ίσο με μηδέν. Για όλες τις άλλες τιμές όπου το q(y) δεν είναι ίσο με 0, μπορούμε να γράψουμε τη διαφορική μορφή:
- p(x) dx = dy / q(y),
ενσωματώνοντας τα οποία, παίρνουμε μια γενική λύση.
Ας λύσουμε την εξίσωση S" = t2(S-a)(S-b). Προφανώς, οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί a και b. Επομένως, S=a και S=b είναι λύσεις σε αυτήν την εξίσωση. Για άλλες τιμές του S έχουμε διαφορική μορφή: dS/[(S-a) (S-b)] = t2dt Από όπου είναι εύκολο να ληφθεί το γενικό ολοκλήρωμα.
Εξισώσεις της μορφής H(y)W(x)y" + M(y)J(x) = 0
Έχοντας επιλύσει αυτόν τον τύπο εξίσωσης για το y" λαμβάνουμε: y" = - C(x)D(y) / A(x)B(y). Η διαφορική μορφή αυτής της εξίσωσης θα είναι:
- W(x)H(y)dy + J(x)M(y)dx = 0
Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, πρέπει να εξετάσουμε μηδενικές περιπτώσεις. Αν το a είναι ρίζα του W(x), τότε το x = a είναι ολοκλήρωμα, αφού από αυτό προκύπτει ότι dx = 0. Ομοίως, με την περίπτωση εάν b είναι ρίζα του M(y). Στη συνέχεια, για το εύρος τιμών του x για το οποίο τα W και M δεν εξαφανίζονται, μπορούμε να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές διαιρώντας με την έκφραση W(x)M(y). Μετά από αυτό η έκφραση μπορεί να ενσωματωθεί.
Πολλοί τύποι εξισώσεων στους οποίους εκ πρώτης όψεως είναι αδύνατο να εφαρμοστεί ο διαχωρισμός των μεταβλητών αποδεικνύεται ότι είναι έτσι. Για παράδειγμα, στην τριγωνομετρία αυτό επιτυγχάνεται μέσω μετασχηματισμών ταυτότητας. Επίσης, μπορεί συχνά να είναι κατάλληλη κάποια έξυπνη αντικατάσταση, μετά την οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των διαχωρισμένων μεταβλητών. Οι τύποι διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης μπορεί να φαίνονται πολύ διαφορετικοί.
Γραμμικές εξισώσεις
Ένας εξίσου σημαντικός τύπος διαφορικών εξισώσεων, η επίλυση των οποίων γίνεται με υποκατάσταση και αναγωγή τους στη μέθοδο των διαχωρισμένων μεταβλητών.
- Q(x)y + P(x)y" = R(x) - αντιπροσωπεύει μια εξίσωση που είναι γραμμική όταν εξετάζεται σε σχέση με μια συνάρτηση και την παράγωγό της. P, Q, R - αντιπροσωπεύουν συνεχείς συναρτήσεις.
Για περιπτώσεις όπου το P(x) δεν είναι ίσο με 0, μπορείτε να φέρετε την εξίσωση σε μια μορφή που επιλύεται ως προς το y" διαιρώντας όλα τα μέρη με το P(x).
- y" + h(x)y = j(x), όπου τα h(x) και j(x) αντιπροσωπεύουν τους λόγους των συναρτήσεων Q/P και R/P, αντίστοιχα.
Λύση γραμμικών εξισώσεων
Μια γραμμική εξίσωση μπορεί να ονομαστεί ομοιογενής στην περίπτωση που j(x) = 0, δηλαδή h(x)y+ y" = 0. Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται ομοιογενής και μπορεί εύκολα να διαχωριστεί: y"/y = -h (Χ). Ενσωματώνοντάς το, παίρνουμε: ln|y| = -H(x) + ln(C). Από όπου το y εκφράζεται ως y = Ce-H(x).
Για παράδειγμα, z" = zCos(x). Διαχωρίζοντας τις μεταβλητές και φέρνοντας την εξίσωση σε διαφορική μορφή, και στη συνέχεια ολοκληρώνοντας, προκύπτει ότι η γενική λύση θα έχει την έκφραση y = CeSin(x).
Μια γραμμική εξίσωση στη γενική της μορφή ονομάζεται ανομοιογενής, δηλαδή η j(x) δεν είναι ίση με 0. Η επίλυσή της αποτελείται από πολλά στάδια. Πρώτα πρέπει να λύσετε την ομοιογενή εξίσωση. Δηλαδή, εξισώστε το j(x) με μηδέν. Έστω u μία από τις λύσεις της αντίστοιχης ομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης. Τότε ισχύει η ταυτότητα u" + h(x)u = 0.
Ας κάνουμε μια αλλαγή της μορφής y = uv στο y" + h(x)y = j(x) και πάρουμε (uv)" + h(x)uv = j(x) ή u"v + uv" + h(x)uv = j(x). Μειώνοντας την εξίσωση στη μορφή u(u" + h(x)u) + uv" = j(x), μπορούμε να δούμε ότι στο πρώτο μέρος u" + h(x)u = 0. Από όπου παίρνουμε v" (x) = j (x) / u(x). Από εδώ υπολογίζουμε την αντιπαράγωγο ∫v = V+С. Πραγματοποιώντας την αντίστροφη αντικατάσταση, βρίσκουμε y = u(V+C), όπου u είναι η λύση της ομογενούς εξίσωσης και V είναι η αντιπαράγωγος της σχέσης j / u.
Ας βρούμε μια λύση για την εξίσωση y"-2xy = 2, η οποία ανήκει στον τύπο των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Για να γίνει αυτό, λύνουμε πρώτα την ομοιογενή εξίσωση u" - 2xu = 0. Λαμβάνουμε u = e2x + C. Για απλότητα της λύσης, ορίζουμε C = 0, δηλαδή επειδή για να λύσουμε το πρόβλημα χρειαζόμαστε μόνο μία από τις λύσεις, και όχι όλες τις πιθανές επιλογές.
Τότε εκτελούμε την αντικατάσταση y = vu και παίρνουμε v"(x)u + v(u"(x) - 2u(x)x) = 2. Τότε: v"(x)e2x = 2, από όπου v"(x ) = 2e-2x. Τότε το αντιπαράγωγο V(x) = -∫e-2xd(-2x) = - e-2x + C. Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση για y" - 2xy = 2 θα είναι y = uv = (-1)( e2x + C) e -2x = - 1 - Ce-2x.
Πώς να προσδιορίσετε τον τύπο της διαφορικής εξίσωσης; Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να το επιλύσετε σε σχέση με την παράγωγο και να δείτε αν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαχωρισμού μεταβλητών απευθείας ή με αντικατάσταση.